我们看最简单的模型:
假设某地球和某太阳, 这两星球相互距离足够远,它们距离其他星球也足够远. 引力等相互作用忽略...
1)在太阳参考系看地球, 地球在自转. 由于相互引力忽略, 时空是平坦的, 因此时空度规可以化为闵可夫斯基的简单情况,在其中,三维空间是欧氏空间. 我们在太阳参照系看地球可以按欧氏几何的平常描述.
2)在地球参考系看太阳. 由于引力忽略, 时空仍然是平坦的, 但其中的三维空间并不平坦(这一点许多书上四维有详细计算), 太阳在地球参照系看来沿短程线运动(即使考虑太阳-地球引力,仍然如此, 只是这时是在非平坦时空中的短程线而已).
按这样的短程线方程,在三维空间上的投影将是圆周运动.
3)注意,虽然在地球参考系的三维空间的投影,太阳轨迹是圆周, 但因为太阳在四维时空是平坦空间中的短程线, 既然是四维平坦时空, 即并没有引力存在.
(这与牛顿理论不同. 在牛顿体系, 必须在能把地球作为近似惯性系的条件下,把地球做参考系, 而这时若太阳绕地球旋转, 那一定是受到地球的引力了.)
4)太阳足够远, 角速度足够大, 线速度也不会超越光速---相对论在此无矛盾(佯谬).
因为在地球系, 太阳的轨迹周长发生尺缩效应, 圆周长与半径之比大于欧氏空间的pi值. 圆周上的时钟也变慢了. 在这些效应下, 地球系看太阳的速度不会超过光速, 即不会与相对论的基本假设相矛盾.
身在他处,手边无资料, 凭记忆阐述, 有错漏之处请指正.