[按：论坛里大家争论数学有用无用，我就做了一点功课，写了下面这个小
短文，以便相互讨论交流。]

要讨论数学有无用，自然要涉及两个问题，一是什么是数学，二是何为
“有用”。单在这两个概念上，也是需要费点脑筋。

说起数学来，难以给个什么定义。比如说偶数加偶数一定是偶数，这个结
论可以说是数学的内容，也可以说是常识。工程里的种种算法有算不算数
学呢？ 浅显的讲，大家所理解的数学大都是指更为基础的数学方法和知识，
或者指那些不为大多数非数学专业的人所了解的东西。甚至对有的人来讲，
数学就是没有直接应用的抽像方法和知识－－ 同持这样观点的人来辩解数
学有无用，的确是会绕弯子。

那数学究竟是什么的呢，数学本身就是从各种应用中抽象并独立出来，建
立的一套理论。数学家呢，则是研究这些理论，发展之，完善之，其直接
目的就是去完备这些理论，而如何更好的应用之则是其次。数学本身的目
的不在应用，因此硬要批评数学“无用”，则是强人所难。但是，数学的
理论完善了，其中的部分结论可能会有进一步的应用；这也许是在争论数
学有无用中能说服人的数学“有用”之所在，当然这不是数学的全部。

再说“有用”。“有用”本身不难理解，问题是大家往往对于熟知的“有
用”太想当然，正如我们往往忽略了太阳的“有用”，同时有些有用不是
很容易就可以理解的。这里说一些不为大多数人所知道的例子也许有助于
认证数学之有用。

我了解的数学的应用也不是很多，下面就我的经历来来说几个例子。

数论的应用也许算是我们经常提起的。在密码学中，如何加密解密，如何
设计公开密钥体系等，都是非常巧妙的数学构造，但是其细节我了解的却
不是很多。不过，我倒是接触过的基本的编码理论。在电视、网络、手机
等数字信号传输中，离不开编码。编码的设置要求能自动纠错，具有稳健
性，这其中数论、群论等是最基本的工具。学习编码理论时，利用素数性
质一些构造的码让我惊叹其优美。 之前我也学习过数论，也为起自身的优
美所折服；那时候国内有《计算机爱好者》这个杂志经常搞一些编程竞赛，
我经常很自豪地用数论的方法给出漂亮的解决方案，不过好多题目好像就
是搞数论的人出的，以至于我可以直接应用“中国剩余定理”。因此，对
于数论在很好地应用在编码理论中，我也并不吃惊。据说，在编码理论中
使用数论理论，是高深数学理论得以直接应用的少见例子之一。很显然，
如果我们在设计编码方案是才开始研究数论是大大的来不及。

我上过控制理论的短期课程，了解到一些控制理论中数学知识。瓦特改良
的蒸汽机，需要通过调节阀门来对蒸汽机的速度进行控制，速度快了就要
通过释放蒸汽来减速，这里就有一个问题，释放蒸汽多了，速度就会过慢，
控制不好的话，蒸汽机就会忽快忽慢，很不稳定。因此如何根据蒸汽机的
状态来调节阀门释放蒸汽就是个问题。 抽象来讲，是个参数控制问题，而
更复杂的问题就要控制更多的参数，这并不容易。 我在课程学了解到，这
些理论中居然涉及到复杂的矩阵的正定性等理论－－当然这只是很浅显的
管中窥豹。控制论由俄国的数学家维纳创立，这个该算是数学的应用或者
数学的一个分支领域。

我也上过计算机辅助几何的课程，了解到在CAGD中，贝塞尔曲线（Bezier
曲线)是一个非常优美的构造。贝塞尔曲线最初由法国雷诺汽车公司的工程
师贝塞尔（Bezier）在汽车设计中创造出来，但是最初表达形式十分复杂 。
后来数学家采用了更为简洁并且有非常好的性质（比如正交不变性）的基函
数来描述，使其得以更好的应用。在数学的一个分支－－函数逼近论中，对
Bezier曲线有更多的变形和讨论。其中发展起来的非线性有理样条曲线也
是成了CAD业界的标准。

再在说我比较熟悉的计算领域的有限元方法。基于有限元的商业软件的在建
筑桥梁设计，汽车制造，水土自然灾害模拟以及产品设计加工等工程领域中
的广泛应用足以说明起应用价值之大，这个自不必多说。这里我们来说一下
其中的数学理论。有限元方法的思想最早来自于数学中的求解极值问题和变
分问题中的Ritz-Galerkin方法，后来经过Alexander Hrennikoff，
库朗（Richard Courant）等人引入离散的概念，进而在伯克利大学被设
计成可以实际计算的有限元方法，并应用在航天技术和结构分析中。有限元
方法在工程中得以广发应用的同时，其相应的数学理论也在迅速发展，1973
年Gilbert Strang建立了数学理论，并成为一个独立的研究分支。有限元
的数学理论研究为高效的有限元的设计以及误差估计等提供了很好的理论方
法。 有限元方法的完备数学理论也是其能被广泛应用的一个原因。

现在工科的人学习有限元，可能觉的有限元不过是一些单元的拼凑，很快就
可以使用－－有点像中关村的人拿个螺丝刀就会装电脑，但是其背后的数学
理论确实必不可少，比如函数逼近理论，差值误差估计等。为了说明数学的
“有用”，我们还可以再提一下其中关于函数空间的Sobolev理论， 在有限
元中，它可称之为基础的基础，这些方程理论早在1935年就由俄国数学家
Sobolev等人建立，它们的完备性并不是非数学领域的人所能体会到的。如
果许许多多的数学理论的储备和发展，有限元方法能否产生，或者在被发明
之后如何继续深入发展却是难以想象的。

回到最初的话题，数学是隐藏在各个学科背后的，其“有用”，是肯定却又不
易觉察到的。数学的不断发展，也是实际上为各个学科的发展做技术储备。我
们评价数学的有用无用，应该深入其中，才能有了解和感悟。

这里不由地想到邹承鲁、饶毅等人对中国设立几个大学科的做法的批评。的确，
大学科不是人为设定出来的，而是经过不断的研究积累和知识沉淀才产生的。
“有用”的东西呢，也是“无用”的东西慢慢地积累，最终现量变到质变的转
化。