首先当然要澄清的是这里说的“有用”是特指实际用途，如果要想讨论一张油画、一曲交响乐是否有用一样地讨论数学，那也就已经不用讨论了。
其次，这里说的数学是正在研究中的数学，不是已经发展成熟而有用的东西，如乘法表。
说数学有用有几个根据：其一是即使现在没有用，保不定将来就找到用处了；其二是即使研究的东西没有用，研究过程中可能会发现有用的新理论或工具；其三则是像数论这样的纯数学，也在密码上得到了用处。（第三个只是举例，不是根据，但在此故妄列之。）
第一个根据其实是很荒唐的，基本上就是守株待兔那样的心态。你可以把这个理由用到任何事情上，谁也不知道将来能不能找到太极拳或眼保健操的用处，但为了那么一个小几率，值得你今天下那么大的功夫吗？
与此相关的另一考虑是，将来真的发现某个东西有用的时候，那时再发明和研究该项工具是否会很困难？答案是否定的。牛顿发明微积分和海森堡重新作出矩阵代数规则等等都说明当物理学家需要某个数学工具的时候而该工具不在手边时，他可以几乎轻而易举地发明这项工具，没有必要等数学家先给作好。
恰恰相反，倒是很多原本没用的数学领域是在半死不活的状态下因为物理的刺激才获得了一些活力。比如线性代数、群论、非欧几何、微分方程等等等等。
“书到用时方恨少”是学习的过程中的苦恼，在科研的前沿上并不成大问题。
第二个根据貌似有理一些，但其实同样荒唐。知道自己的主攻目标不灵，便指望捡到一些副作用上的便宜。且不说这个几率也很小，但问题是你何苦来着？如果大家潜心研究永动机，也可能因此发现一些提高能源使用效率的奇功异巧。但我们是否因此会说研究永动机有用呢？有那功夫干嘛不直接研究能源使用效率？
今天的密码技术上用到大数分解的算法，就是一个利用副作用的典型。密码本身和大数或素数没有任何关系。它只是需要一个“过来容易、回去困难”的计算过程而已。在物理上这叫不可逆过程。计算机领域里没有完全的不可逆过程，于是便需要一个“几乎不可逆”过程，也就是穷尽现今的计算资源不能在有效时间内破解出“逆过程”的算法。“大数分解”凑巧符合这个条件。两个大素数相乘，得到一个大乘积，这个过程轻而易举。反过来，要把那个大乘积分解成原来的那两个素数，则在今天的计算资源上几乎不可能。
“大数分解”光是符合这个条件其实还不够。如果存在的素数很少，只有几个的话，我们也造不出几个密码来，因此也就毫无用处。好在自然存在的素数相当多，够我们用。
因此也可以看出，“大数分解”被用了作密码技术纯属偶然。如果数论在这里有所贡献，也只是一个碰巧的副作用而已。
现今这个密码技术的可靠性问题基本上和数论或数学理论无关，它完全取决于计算资源的大小和计算方法的效率。一旦后者提高到可以迅速分解大数的程度，这个技术立即土崩瓦解，再有多少绝顶聪明的数学家也不计于事。
其实这种“没用”的研究并不仅仅限于数学。物理上距离试验越来越远的理论研究也是如此。一个显著的例子就是横行了二十几年的超炫理论，直到今天才有人大胆地质疑那都是一些没用的研究。