甚至有人认为能够构造出来的数学，才是真的数学，那些人称为 Russian school of constructive mathematics（构造性数学）。
构造性数学认为数学中的object是需要从没有开始一步步构造出来；逻辑排中律不成立，因此数学上的反证法也不有效；而用existential quantifier（存在量词∃）是需要把那个object构造出来的，不可以用反证法来证明。
逻辑上就有人想构造逻辑排中律不成立的逻辑体系。其中有人认为这种逻辑体系可以更好地模拟人类的直觉，这种逻辑体系就叫直觉逻辑。这些逻辑体系的研究，进展并不顺利。
而我的关键临界点分析方法，承认逻辑排中律不是普适定律，但采取了跟直觉逻辑相反的思想：认为逻辑排中律非常重要，因此需要寻找逻辑排中律成立的关键临界点，作为科学严谨性的基础。
所以，我才称我的关键临界点方法为重要的学术突破。
七、八年前，我在linkedin的一些group中谈论无理数的语义时，就有人认为物理世界是离散的，所以无理数根本不存在，很武断地把我的观点边缘化了。
实际上物理学中，不使用无理数根本不可能。前不久我还用email问过Freeman Dyson教授，他肯定了物理学不用无理数是不可能的（不幸的是我才发现Freeman已于2月28日去世）。
所以，Zhangqq问我是否对任一无理数存在程序可以打印任意指定位数的数字，我就反问他：你知道无理数有多少个，什么叫“任一无理数”，什么叫“存在一个程序”？
想用计算无理数任意指定位数数字的构造性方法，来边缘化我的
练习题“请完整表述无理数的语义”，就需要看看构造性数学自己的完整观点：无理数的绝大部分叫不可定义数，但不可定义数是没法构造、没法给出的；当构造性数学选择“任一无理数”时，就不会选中不可定义数，所以对不可定义数“存在一个程序”的逻辑判断根本就不会被执行。柴廷常數这样的不可计算数也没什么实际意义。
我前面还提出研究语义的产生、发展、收敛、和不稳定演变。不可定义数的语义实际上是不稳定的。所以我说：不可定义数在语义上更有严重问题。
这样把我的学术观点及其相关争论的来龙去脉大致介绍了一下。我批评学术错误得罪了不少人。我这样的边缘弱势人士，没有资源，做点研究很不容易。请公正对待吧。
我的那三个练习题，我自己是有答案的。但希望有更多人去思考，所以适当时候才会公布我的答案。