“第一时间”应该是源于香港的粤语，最初只用于足球，几十年前还没有电视的时候，电台上听足球实况转播常常会听到“第一时间抽射”这个说法。但发明权不属于中国人，是从英文的 first-time shot 翻译过来的，搜索 football first-time shot 可以找到许多例子。作者X 知道 the first time 是第一次，但不知道有用短线连起来的 first-time，而在这个用法中，first-time 绝对不能译作第一次。
“第一时间射门”，就是在来球着地刚弹起的一霎那立即起脚打门，是一个很漂亮的动作，如果进了，报道中几乎一定会提到这一点。
“第一时间”什么时候推广到其他场合，我不清楚，不过意思很好理解，就是在某一事件发生后，立即采取另一应对行动。