三门问题及其启示 　　作者：满江红 　　上个世纪美国曾有一个有奖竞猜电视节目是这样的:节目中有三扇门，其中 两扇背后是羊，一扇背后是汽车，参赛者需要选一扇门，如果选了背后是汽车的 门，就能获得汽车，否则只能获得羊。他需要先选一扇门，随后主持人会在剩下 的两扇门中选一扇背后是羊的门打开，然后问他是否要改变最初的选择。那么问 题来了:参赛者改变最初的选择能不能提高他获得汽车的概率呢？答案是肯定的。 这是颇违背直觉的，再加上参赛者会对第一次的选择产生心理锚定，他在实际判 断中会倾向于不改变原来的选择。 　　三门问题实质是一个数学上的条件概率问题。在这个问题中，主持人作为遵 守规则的知情人，并不是随机地打开一扇门。一是他不能打开那扇参赛者已经选 择的门，二是他必须确保打开的门后面是羊。这样，主持人没有打开的那扇门可 能的情况有两种：1.该门后面是羊，概率与参赛者第一次选中汽车的概率相等， 为1/3；2.该门后面是汽车，概率与参赛者第一次选中羊的概率相等，为2/3。参 赛者最初选中的门可能的情况也有两种：1.该门后面是汽车，概率与参赛者第一 次选中汽车的概率相等，为1/3；2.该门后面是羊，概率与参赛者第一次选中羊 的概率相等，为2/3。显然，此时主持人没有打开的那扇门后面是汽车的概率大 于参赛者第一次选择的门后面是汽车的概率，且前者是后者的2倍。 　　三门问题可以拓展到N门问题。假设有N扇门，参赛者先选择了一扇，然后主 持人打开了M(1<=M<=N-2）扇后面是羊的门。如果参赛者不改变最初的选择，那 么他没有利用上主持人打开了M扇后面是羊的门这个新信息，他获得汽车的概率 与不给他第二次选择机会时相同，为1/N。在剩下的未被打开的N-M扇门中，那一 扇被参赛者最初选中的门之所以没被打开，有两种可能的原因——它后面是汽车 或者它被参赛者最初选中了。而参赛者最初没选的N-M-1扇门之所以没被打开， 只有一种可能的原因——它后面是汽车。可见，当主持人打开了M扇背后是羊的 门这个新信息产生之后，参赛者最初选择的那一扇门背后是汽车的概率低于他最 初没选择的那N-M-1扇门中的任何一扇。 　　实际上，通过数学计算，可以得到主持人在N扇门中打开M(1<=M<=N-2）扇门 时，参赛者采取更换策略的中奖概率:P（更换）=（N-1）/(N*(N-(M+1)））。因 为N-1恒大于N-(M+1)，所以P(更换)恒大于1/N，也就是更换的中奖概率恒大于不 更换的中奖概率。具体计算过程参见网友atpdiudiu在CSDN网站的博客文章《三 门问题拓展到N门问题的解法探讨》。根据这一公式，如果是4扇门，参赛者先随 机选择了1扇，然后主持人打开1扇背后是羊的门，这时参赛者如果改变最初的选 择就能把选中汽车的概率从最初的1/4提高到3/8。实际生活中对应的近似例子是: 在考试中你做一道4选1的选择题，不会，只好先随机选了一个答案，监考老师知 道答案是哪项，并且告诉你你没选的其中一项是错误的，那么你应该改变最初的 选择，因为那会使选中正确答案的概率从1/4提高到3/8。如果是10扇门，参赛者 先随机选了1扇，然后主持人打开了2扇后面是羊的门，那么参赛者应该改变最初 的选择，这样能把选中汽车的概率从1/10提高到9/70。实际生活中对应的近似例 子是:一个年轻人有十个职业选项，先随机选了一个职业，但是不知道这个职业 是否是最适合他的职业，有个职业规划大师知道最适合他的职业是哪个，但不明 说，而是告诉他十个职业中另外的两个职业并非最适合他的职业，那么如果他放 弃现在的职业另寻一个没有尝试过的职业，会把找到最合适职业的概率从1/10提 高到9/70。 　　三门问题这一类问题的条件非常严苛:第三方全知、诚实；第三方排除错误 选项而不直接给出正确选项；参赛者改变选择没有任何成本。这在实际生活中几 乎是找不到完全吻合的事例的。但是，这类问题的答案仍然带给我们深刻的启迪 ——最大的懒惰是思想的懒惰，是对新产生的信息麻木不仁，对环境的变化无动 于衷。所谓“天道酬勤”，可以有另外一种含义:成功的天平总是向积极利用新 的信息优化选择的人倾斜。 　　美剧《生活大爆炸》中的潘妮来到加州，本来是打算当好莱坞影星的，但是 长期得不到演电影的机会，只好在餐馆端盘子。她性格爽朗，但是粗枝大叶，总 把顾客点的餐搞混。当她觉察到自己既不喜欢也不擅长做餐馆女招待后，果断辞 职，全心全意追逐明星梦。在与一众年轻漂亮的女孩竞争试镜受挫后，她勇于转 行，通过好友伯纳黛特的介绍到医药公司做推销员，充分发挥了自己的营销才干， 很快就如鱼得水，做到了销售主管，拿到高薪。这是一个积极利用新产生的信息 优化职业选择的正面例子。小说《房思琪的初恋乐园》中的许伊纹在恋爱和刚结 婚时是十分幸福的，但是婚后不久丈夫钱一维就开始酗酒打她，暴露出酒疯子的 真面目。她寄希望于钱一维能够改过，没有离开他，反而怀了他的孩子。后来钱 一维再次酗酒，把她腹中胎儿打流产了，给她身心都带来极大伤害。许伊纹本该 知道，家暴只有零次和无数次的分别，在初遭家暴时应该果断止损分手。这是没 有利用新产生的信息优化人生选择的反面例子。 　　这世界充满了不确定性，它唯一不变的就是时刻在变化。面对变化着的世界， 我们要保持开放的思想，善于从变化产生的新信息中判断未来，勇于拥抱改变、 探索未知。小到个人的人生规划，大到国家的改革创新，都是如此。这不是空洞 的道德说教，而是坚实的数学逻辑。（完）