数坛上的一代歌王——辛格 　　丁玖 　　美国时间今年2月11日，正是中国农历辞岁迎新之际，麻省理工学院数学系 的荣休“学院教授(Institute Professor)”伊萨多?辛格(Isadore Singer， 1924-2021)与世长辞，离他97周岁生日不到三个月。如同他的英文姓氏“Singer” 基本词义所表达的那样，这位嘹亮歌声响彻在现代数学“歌剧院大厅”里的一代 歌王，永远停止了歌唱。数学爱好者们对他的感激与怀念，与声乐爱好者们当年 对“高音C之王”帕瓦罗蒂(Luciano Pavarotti，1936-2007)的感激与怀念是一 样的浓烈。 　　在辛格逝世之前的一个月，我还花了几晚的就寝前时间，重读了丘成桐教授 编篡的陈省身(1911-2004)先生80周岁庆祝文集中的大部分文章，其中包括辛格 教授为之专写的一篇。在三页短文中，辛格回顾了1949年当他在芝加哥大学数学 系撰写博士论文之际，刚刚被系主任斯通(Marshall Stone，1903-1989)教授聘 任为数学系正教授而去执教的陈省身为研究生开设的一门几何课程，其弥漫课堂 的整体微分几何的思想与概念，对他到那时为止四十年数学人生所产生的重大影 响。 　　辛格出身于从波兰移民到美国密歇根州汽车城底特律的一个犹太人家庭。但 不像长他一辈的神童、他后来的麻省理工学院数学系同事维纳(Nobert Wiener， 1894-1964)那样父亲是语言天赋很高的哈佛大学斯拉夫语教授，他的父亲仅是一 名印刷工人，来到北美洲新大陆后的语言适应能力非常弱，以至于英文听说还是 跟这个出生后进步神速的聪明儿子学会的。辛格和比他年轻六岁的本州居民、后 来和他在加州大学伯克利分校同事过四年的拓扑学家斯梅尔(Stephen Smale， 1930-)一样，考进了密歇根大学，但学的是物理。两年半后辛格于1944年初匆匆 毕业，参加二战，作为美国陆军雷达技术人员驻扎在菲律宾。不过那时的辛格已 经修过两门现代物理课程——量子力学与相对论。但他认为自己尽管能做一些题 目，却没有真正理解它们，原因是数学基础不够。为了战后更好地掌握他还没来 得及学透的相对论与量子力学，辛格白天忙于战时的紧张工作，晚间参加芝加哥 大学提供的两门函授课程全力进修抽象数学，一门是微分几何，另一门是近世代 数，这很对他的胃口。那时他仅仅把数学作为未来继续深造物理的工具，而没有 将它视为终其一生的职业。 　　许多数学家和科学家都有类似的经历。开始，他们对自己的真正爱好尚未有 所察觉，但随着知识的深化和阅历的拓广，很快就对某个学科有了感觉，对自己 的兴趣和天赋所在开始心中有数，乃至立下雄心壮志，誓言与之厮守终生。比如 说去年也是高龄去世的戴森(Freeman Dyson，1923-2020)教授，他40年代初进入 英国剑桥大学时，先和狄拉克(Paul Dirac，1902-1984)学习物理，但在哈代 (Godfrey Hardy，1877-1947)的影响下以纯粹数学家的面貌出道。来美国的康奈 尔大学后，碰到天才的费曼(Richard Feynman，1918-1988)，戴森迅速在量子电 动力学做出杰出的贡献，刚进入而立之年就被普林斯顿高等研究院的院长聘为终 身教授，比他终生的同仁兼好友杨振宁(1922-)还要早上两年。登上今年春节美 国发行的新年邮票的吴健雄(1912-1997)，于30年代初考取中央大学时进入的是 数学系，博览群书后发现自己的挚爱在实验物理，于是在一年后就转到物理系， 在居里夫人(Marie Curie，1867-1934)的中国籍博士施士元(1908-2007)教授指 导下写了学士论文。维纳最优秀的学生列文森(Norman Levinson，1912-1975)， 在麻省理工学院所修读的电机工程专业一直念到1934年取得学士和硕士学位，一 年后获得数学博士学位，后来成为麻省理工学院数学系从教学型转化为研究型的 那个时代的主要建筑师之一，并被遴选为学校最高荣誉的“学院教授”。更有意 思的一个“转型”例子，当属我在密歇根州立大学读博士学位时的学术顾问颜宪 尧(David Yen)教授。他于台湾大学的机械系毕业后，到了密歇根州立大学机械 工程系读研究生。但他在快拿到博士学位时发现那些工程知识的基础都是数学， 觉得先把这些基础数学搞懂再说。于是他转往纽约大学柯朗数学科学研究所，念 了个应用数学博士学位，最终又回到密歇根州立大学任教，但落脚数学系。这些 例子说明，选择最合自己口味的学科最容易成就自己。我当年读南京大学本科时， 学校几乎不让学生转换专业，可能耽误了不少有某种天赋的大学新生的前程。如 今，这种僵化的制度据说已经被打破，更适应了优质青年的成长。 　　二战结束后，因函授课程而爱上芝加哥大学的辛格去了该校继续学习数学， 1948年取得数学硕士学位。本来计划学一年数学后再回到本行物理的他，到了这 个时候却改变了初衷，兴趣完全转到纯粹数学，认为它的美学价值高于理论物理。 于是他一不做二不休，投身于那年刚去芝加哥大学教书的另一个犹太人欧文?西 格尔(Irving Segal，1918-1998)门下，在其指导下两年后获得数学博士学位。 他的博士论文标题是“无界算子的李代数”，属于泛函分析与抽象代数的共同地 盘。1998年导师去世，七年后在一次采访中，辛格回忆道：他授课的方式是将学 生训练成一名研究型数学家，并且他办公室的门永远对学生敞开，讨论数学，甚 至到半夜三更。所以辛格说“I learned a great deal”。西格尔出名非常早， 不到16岁就考进了普林斯顿大学数学系，三年后毕业，并获得奖励本系优秀学生 的George B. Covington 奖；再过了三年，他在耶鲁大学的著名分析学家埃纳尔? 希勒(Einar Hille，1894-1980)手中拿到博士证书。中国学习分析的数学研究生 大概对希勒同别人合著的大书《泛函分析与半群》印象深刻。在希勒和西格尔两 代分析高人的熏陶下，辛格那时的主要训练在微分方程和泛函分析。这些与物理 关系密切的分析学领域，与他念本科时所醉心的量子力学息息相关。他训练有素 的分析功底，加上他“幸运地”从陈省身教授那里学到的整体微分几何概念以及 逐步掌握到的拓扑知识，为他后来一直活跃在分析和几何两大学科并且于60年代 初同英国杰出数学家阿蒂亚(Michael Atiyah，1929-2019)共同证明了关于椭圆 型微分算子的指标定理，奠定了雄厚的基础。 　　我有幸于1994年的金秋10月参加了麻省理工学院纪念天才人物维纳冥诞100 周年及逝世30周年的“维纳传奇百年研讨会”，亲眼目睹了几位数学大师的风采。 记忆犹新的是当那年的菲尔兹奖获得者布尔甘(Jean Bourgain，1954-2018)做完 报告后，已经退休的西格尔老教授宝刀不老，不停地质疑他一系列数学问题，其 咄咄逼人的攻势几乎让对方招架不住。自然，辛格教授脸上那块与众不同的“胎 记”也让我印象深刻，但他面对与会的俄罗斯人、普林斯顿大学数学教授西奈 (Yakov Sinai，1935-)所表现出的彬彬有礼君子风范，留给我比对他的导师更难 以磨灭的鲜明印象。 　　学了很多现代分析知识的辛格在其博士生阶段最后一年的时候，已经享誉国 际数学界的中国数学家陈省身开始了他后来在芝加哥大学十年教书的生涯。陈先 生1936年在德国汉堡大学的几何学家布拉施克(Wilhelm Blaschke，1885-1962) 指导下获得博士学位后，随即游学巴黎大学一年，得到几何学大师嘉当(Elie Cartan，1869-1951)的真传。嘉当慧眼识珠，看上这位志向远大的东方好学青年， 每隔一周在家里慷慨见他一面，毫无保留地亲授关于流形分析和活动标架的嘉氏 独门武功，查询这位学生的研究进展并指出新的思路。按照陈先生晚年的回忆， 学生离开后，老师还在继续思考他们讨论过的问题，第二天送来新的想法。这种 指导，堪称典范。学生因抗战而回国后，他还不停寄上自己论文的预印本，给在 中国西南联大恶劣生活环境下坚持学术研究的陈省身及时送上最佳数学食粮。钻 研不止的陈省身真正读懂了嘉当那批晦涩难懂的文章，而那个时代绝大多数的欧 美数学家却没能读懂，甚至忽视或怠慢了它们。这些现代几何学的先进思想和新 颖方法极大地启发了这位中国人在艰苦的条件下做出了第一流的研究工作，如成 为整体微分几何标志性记录的高斯-博内公式之内蕴证明以及在现代数学各分支 中到处有用的“陈示性类”，使得他很快成为世界数坛中令人瞩目的整体微分几 何开路先锋。所以，当普林斯顿高等研究院的大数学家外尔(Hermann Weyl， 1885-1955)教授于1948年底将陈省身从内战烽火中的中国邀请到那里访问后，仅 仅过了半年，一心想把芝加哥大学数学系重新打造成北美学术重镇的分析与拓扑 学家斯通系主任，闯过了校方对长期雇佣华人教授犹豫不决的难关，一把将陈省 身从美国的东海岸拉到密歇根湖湖畔的芝加哥，加入到不久前也被他挖去数学系 的韦伊(Andre Weil，1906-1998)、麦克莱恩(Saunders Mac Lane，1909-2005) 以及辛格的博士论文导师西格尔等英雄豪杰的队伍当中。 　　陈省身将嘉当的思想和理论从法国出口到中国再进口到美国，是嘉当辉煌数 学事业当之无愧的直系传人。杨振宁先生在他80年代初写的一首五言诗中的最后 一句是“欧高黎嘉陈”，将他俩与伟大的欧几里得 (Euclid，前325-前265)、高 斯(Friedrich Gauss，1777-1855)和黎曼(Bernhard Riemann，1826-1866)并列。 陈省身在美国三十年教书生涯中正式开设的第一门微分几何课，让辛格和他的研 究生伙伴们进入了微分几何的“大范围时代”。如果说杨振宁于1940年秋季在西 南联大读大三时从陈省身的局部微分几何课中学到了经典知识，那么时隔九年辛 格则是从同一个老师那里吸收了整体微分几何的现代养分。在这门“及时雨”式 的课程里，陈省身强调了嘉当的微分流形工作以及标架丛的观点，介绍了他自己 的两大成果：高斯-博内-陈定理和陈示性类。这些营养成分后来催生出杨振宁和 辛格各自对物理领域的重大贡献。虽然陈省身并非辛格的博士论文指导老师，但 在更广的意义下辛格的确是他的一名学生。 　　尽管在回忆中谦称自己由于忙于博士论文写作而只是“被动”地参与了同学 们对陈教授课中几何新概念的热烈讨论，一年后辛格去麻省理工学院当被称为 “摩尔讲师(Moore Instructor)”的博士后时，他成了陈省身几何新思想的积极 传播者，原因之一是系里比他年长十岁的几何学家沃伦?安布罗斯(Warren Ambrose，1914-1995)教授和其他人热切地想通晓“现代微分几何”的最新发展。 于是，在安布罗斯教授组织的讨论班上，年轻的辛格博士给大家上了一门课，用 的教材就是他在陈省身教授班上的课堂笔记。过了几年，在这两个“中青年”数 学家的强力推动下，麻省理工学院的纯数学研究上了一个新台阶，尤其在几何方 面成了除了芝加哥大学之外的美国数学中心。他们也训练出了一批新生的几何学 家，其中的一个就是后来投身华尔街并以数学模型挂帅而著称的金融投资大王詹 姆斯?西蒙斯(James Simons，1938-)。 　　麻省理工学院数学系的临时教职“摩尔讲师”，可不是一般意义下的“讲 师”，而是相当于“博士后”的一种位置，世界各地新出炉的数学博士很难得到， 它已经成了一种学术荣誉。辛格对本系的“摩尔讲师”制赞不绝口。它起始于 1948年，比辛格迟一年获此教职的是后来在90年代因获得诺贝尔经济学奖以及接 踵而至讲述他故事的《美丽心灵》传记及电影而在全世界家喻户晓的传奇数学天 才纳什(John Nash Jr.，1928-2015)。我在密歇根州立大学念博士时教过我《高 等泛函分析》一学年课程的阿克斯拉(Sheldon Axler，1949-)教授（在这个意义 下我也是他的学生，就像辛格是陈省身的学生一样），在担任摩尔讲师的两年间 获得校级的“杰出教学奖”。辛格回忆起，在庆祝“摩尔讲师”制实施50周年的 那场庆典中，他见到许多昔日讲师今日成为国际主要数学奖的得主和美国数学会 的会长。他甚至认为这个独特的体制是麻省理工学院数学系从50年代起开步走向 辉煌的重要因素之一。因为它让全世界具有不同数学背景和文化的最优秀年轻博 士聚在这里，承担减少一半或三分之一的教学工作，在资深教授的指点下，通过 举办众多数学前沿领域讨论班的实践，强化了与教授们的互动互学，营造出极其 活跃的研究氛围。 　　2016年初，我因帮助一家学术出版社审阅了一本书稿的计划书，为了感谢我 的辛苦劳作，编辑让我挑选价值150美元的礼品书籍。在出版社的书单中，我第 一眼就挑出一本。在当年暮春初夏，我从头到尾通读了这本450页、出版于2009 年的英文口述历史书，书名是 Recountings: Conversations with MIT Mathematicians（《回顾 ：与麻省理工学院数学家交谈录》）。该书编者的父 亲塞格尔(Lee A. Segel，1932-2005)是也当过“学院教授”的杰出华人应用数 学家林家翘(1916-2013)先生于1959年在那里带出的博士。由于这层关系，他对 麻省理工学院数学系的一打资深教授进行了深入采访，出版成书，辛格教授自然 也在其中。辛格向采访人重点描述了他在那里第一年的有趣故事。在此我转述他 刚到校园的第一天经历。 　　那天是1950年7月初。当辛格走进数学系楼后在系主任办公室向秘书自我介 绍时，一位坐在秘书对面读报的家伙放低报纸，冲头对他来了一句：“辛格，我 是安布罗斯。五分钟后有个关于李群的报告。咱们一起去。”辛格回答道：“但 是——但是我必须见马丁（系主任）教授。”对方却说：“那个能等，等会再见 他！让我们听报告去。”报告后安布罗斯把他带回系主任办公室报到，说“今晚 半夜在城里的咖啡店见。11点30我来接你？”当凌晨两点安布罗斯把他送回住处 时，55年后的辛格回忆到他那时刻的心情：“我感到麻省理工学院是我的新家， 安布罗斯和我则成了密友。”这两个精力无穷的好友和同事，加上像列文森及怀 海德(George Whitehead，1918-2004)等几个关键人物，在上个世纪的下半叶帮 助麻省理工学院建成了世界上最强大的数学系之一。 　　辛格最有名的数学工作当推他1963年与英国数学家阿蒂亚发表的“指标定 理”，现在以他们的名字冠名。这个定理是20世纪的一项里程碑之作，因为它的 意义在于建立了分析、几何和拓扑之间联系的一座重要桥梁。他们两人因此共同 的杰作而分享了2004年的阿贝尔奖，这是被称为“数学诺贝尔奖”的该奖项自从 2003年首次颁发后直到目前为止仅有的三次“双人获奖”之一。他们被选中和 1957年李政道与杨振宁被诺贝尔物理学奖选中一样必须是“双赢”，因为被奖的 伟大工作都是双人珠联璧合之作。阿蒂亚的数学兴趣很广，贡献良多，名气很大， 但主要是个几何学家，而分析和微分方程是辛格的过硬本领。他们约60年前的强 强联手，得益于辛格于1961-1962那个学年度学术假，在春季学期对阿蒂亚任教 的牛津大学的访问以及后者对他提出的一个数学问题。在2005年的谈访中，辛格 对他和阿蒂亚之间的几句对话记忆犹新。 　　这一次的学术访问，时间在1962年元月，是他到达牛津校园的第二天，地点 是他的小办公室。当访问者正在拆包准备工作时，主人到了，看看他在做什么研 究。阿蒂亚劈头来了一句问话：“为什么自旋流形的A-亏格是个整数？”A-亏格 在物理上有个响当当的名字：狄拉克亏格，这也反映出指标定理的导火线是从与 数学近距离的理论物理学那里点燃的。辛格好生奇怪，作为有名拓扑学家的阿蒂 亚居然问起这个答案似乎很显然的拓扑学问题，好像是美国的高中数学老师在问 “一元二次方程的解公式是什么？”于是他回应道：“迈克，你知道证明。但你 为何问我这个问题？”对方只是说道：“有深层原因”（我写成黑体字）。对这 个深层原因的共同挖掘，他们挖出了百年未见天日的天下最有名指标定理。阿蒂 亚的一句提问竟让辛格暂时放下一篇数学长文的写作，专心思考它。两个月后他 感觉可以回答阿蒂亚的问题了，突破口在于用分析来处理黎曼自旋流形上的推广 狄拉克算子。他们很快猜出了“指标公式”，并在9月份证明了这个公式，于是 一个里程碑式定理横空出世。 　　指标(index)是个常见的名词。中国的学术界几十年来对它熟悉得不能再熟 悉了，因为全国各大学为之顶礼膜拜的所谓“SCI论文”中的那三个英文字母， 就是词组Science Citation Index（科学引用指标）的简写。即便在数学王国里， 指标的身影也到处可见。比如在泛函分析里有弗莱德霍尔姆(Erik Fredholm， 1866-1927)算子的指标，在拓扑学里有不动点指标，在大范围分析里有临界点的 莫尔斯(Marston Morse，1892-1977)指标，在动力系统里有康利(Charles Conley，1933-1984)指标等等，可以说是多如牛毛。古希腊毕达哥拉斯学派称 “万物皆（整）数”。各种指标也不例外，以整数为值，重要性无比。对任意一 个凸多面体，也有连幼儿园孩子都可以数得出来的一项“指标”，即多面体的点 数加上面数再减去棱数，但有趣的是这个重要的整数拓扑不变量学名叫“欧拉示 性数”。阿蒂亚-辛格指标定理，用一点点专业术语概而括之，就是“定义在紧 流形上的线性椭圆微分算子，它的解析指标等于拓扑指标”。等式左右两端分属 分析拓扑，故等号可以形象化地放大成连接两个数学分支的一座钢铁大桥。这个 指标之所以强大，原因之一是许多早先发现的大定理都是它的“特殊情形”，包 括前面提到的高斯-博内-陈定理。物理学家们一直在寻找对自然界规律可以“包 罗万象”的统一理论，但是迄今未果。然而阿蒂亚-辛格指标定理，从某个角度 来看，却成功地包罗了一大批数学定理。难怪第二届阿贝尔奖当之无愧地授予他 俩。 　　上世纪70、80年代，阿蒂亚-辛格指标定理在数学界风靡一时，备受宠爱， 数学家们掀起了一股了解它学习它的热潮。一般而言，在数学教授中，“偏科” 现象相当普遍。绝大多数人只在他们自家的田野里辛勤耕作，而对篱笆外部的世 界知之不多。所以分析数学的行家里手可能对拓扑术语略感陌生，几何拓扑的顶 尖高人可能对泛函分析颇为生疏。像庞加莱(Henri Poincare，1854-1912)、希 尔伯特(David Hilbert，1862-1943)以及冯?诺伊曼(John von Neumann， 1903-1957)那样的“全能数学家”成了凤毛麟角。不断吸收新知识是增强创造性 思维的一个好途径。我在跟随李天岩(1945-2020)教授读应用数学博士学位期间， 系里几个研究做得风生水起的几何与拓扑教授及其他们的弟子，特地组织了一个 阿蒂亚-辛格指标定理讨论班，把我这个“非几何拓扑科班出身”但对纯数学还 感兴趣的研究生也吸引了过去。我没忘记，有一次我在讨论班上正确回答了演讲 者的一个问题，令在场的一位和我老板一样挂着“大学杰出教授”头衔的拓扑学 家颇为惊讶，转过头来注视着我好一阵子，那个神态仿佛是在纳闷“哪里来的小 子，也知道这个东西？”我对阿蒂亚-辛格指标定理的点滴认识，是来自那两个 月讨论班的额外收获。 　　不仅数学家们对辛格感激涕零，理论物理学家也对他感恩戴德，因为他和杨 振宁的一次交往导致杨-米尔斯理论进入了数学家的视野。规范场的概念于1918 年由德国数学家外尔提出，用于电磁场的不变性，但他的理论没有得到爱因斯坦 的青睐。1954年即他去世的前一年，杨振宁和米尔斯(Robert Mills，1927-1999) 将他的理论修改并且处理了“非阿贝尔”的情形，所得到的非线性偏微分方程是 电磁学中麦克斯韦(James Maxwell，1831-1879)方程组的推广。顺便一提，米尔 斯比费曼迟九年获得美国大学生普特南数学竞赛的“Putnam Fellow”称号，即 打入了个人成绩前五名，所以他和杨振宁一样都是数学家的料子。但是杨-米尔 斯方程在二十年内并没有引起数学家们的足够关注，即使60年代后也仅仅在一部 分理论物理学家中流通。到了1975年，杨振宁先生通过他的数学家同事、和陈省 身亦师亦友并共同提出陈-西蒙斯理论的西蒙斯，对纤维丛的数学概念有了充分 的理解，并着迷于他的规范场公式与黎曼几何中的一个公式在形式上的惊人相似 之处。于是他和自己曾经的“编外弟子”、哈佛大学的物理学家吴大峻(1933-) 在那一年发表了一篇三页短文Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields（《不可积相因子概念与规范场的整体表 述》），其中他们列出一张对照清单，表格的左半边为规范场术语，右半边为纤 维丛术语。正是这篇论文，点燃了辛格从已献身四分之一世纪之久的纯数学华丽 转身到大学时代初恋情人物理学的火焰。 　　那是在1976年夏天，应昔日所教学生西蒙斯的邀请，辛格去了石溪大学（当 时叫纽约州立大学石溪分校）数学系访问，其时系主任西蒙斯安排了老师与本校 的爱因斯坦教授及理论物理研究所所长杨振宁会晤。杨教授向来宾介绍了他和吴 大峻的上述文章。数学眼光犀利的辛格一下子就被这张“数学-物理联络图”吸 引住了，而该对照表中右边恰好有一项“主纤维丛上的联络”，对应着左边的 “规范势”。同年秋天，辛格又去访问老搭档阿蒂亚，向他转述了吴-杨的工作。 他俩和阿蒂亚四年前带出的博士希钦(Nigel Hitchin，1946-)三人合写的、于 1977年4月在数学家同行中开始广泛传播的著名文章Deformations of instantons（瞬子的变形），直接运用阿蒂亚-辛格指标定理，发现了杨-米尔斯 方程的自对偶解。这篇文章引发了数学界对杨-米尔斯方程研究的一股浪潮，至 今尚未消退。 　　同一篇文章也重新激发了辛格对自己老本行的挚爱。借用他十年后为一场演 讲写下的回忆稿，他说：在1947年转入芝加哥大学数学系读研究生“30年后，我 发觉自己在牛津大学讲规范场理论。这件事起始于吴大峻和杨振宁的一张对照表， 结果是得到了瞬子，即杨-米尔斯方程的自对偶解。做了30年的数学，我似乎又 回到物理学了。”近代理论物理学越来越离不开现代纯粹数学这一强大的工具。 自从爱因斯坦向他的数学家同学兼好友格罗斯曼(Marcel Grossmann，1878-1936) 借了笔记，重温了之前因旷课而没能学好的黎曼几何并用之于他的广义相对论， 数学在理论物理的领域一直起着关键性的作用。反过来，它也被物理中的核心问 题推动发展。几十年来，除了杨-米尔斯理论与纤维丛理论、阿蒂亚-辛格指标定 理及低维拓扑等相互影响外，试图统一自然界四种基本作用力的超弦理论与几何 学中的卡拉比-丘流形、凝聚态物理中的量子纠缠与属于抽象代数的范畴论等， 揭示出当今数学与物理之间的进一步融合。 　　辛格教授走完了他漫长而优美的一生。他不仅给学术界留下一系列极富创造 性的数学定理，而且也为后来者留下怎样做数学的指导思想。我既无能力也无资 格在这里总结他属于数学文化的重要遗产，但是我领会到他的数学生涯带给我们 的一个启示是：要在科学事业上有所作为，对多学科知识的积极吸收与融会贯通 绝对是一个出奇制胜的法宝。 　　2021年10月25日完稿 　　美国哈蒂斯堡居所夏日山庄