波兰数学学派的领袖 　　——纪念夕尔宾斯基逝世52周年 　　丁玖 　　今年10月21日，是波兰数学家夕尔宾斯基(Waclaw Sierpiński，1882-1969) 逝世52周年的日子。百余年来，全世界的数学家从他的724篇学术论文和50本书 中获得思想、灵感及知识：集合论得益于他关于连续统和选择公理的基础性研究； 数论学者从他众多的数论文章和教科书中中获取信息与养料；他和俄罗斯杰出数 学家鲁金(Nikolai Nikolaevich Luzin，1883-1950)的长期合作，为实变函数论 的雄伟大厦添砖加瓦；作为不规则点集的先驱构造者，他留下的“夕尔宾斯基三 角形”成为现代分形漂亮花园中的璀璨之作。 　　夕尔宾斯基的出生日期很有数学味，那天是3月14日，即当今人们每年都要 庆祝的“π日”，难怪他的第一本著作专门研究无理数，因为他就生于无理数日。 受到博士导师之一、数论学家Georgy Voronoy(1868-1908)的影响，他在早期的 科学生涯中特别钟情于数论，大学毕业前研究的获奖题目也跟数论有关，并与数 学王子高斯(Friedrich Gauss，1777-1855)的一项工作结下了历史渊源。去世前 的二十年，他又回到所钟爱的数论领域继续耕耘。 　　说到夕尔宾斯基的数学贡献，对混沌尤其是分形学科有点了解的人马上就会 想起“夕尔宾斯基三角形”的构造：给定一个等边三角形，去掉连接它的每条边 中点所形成的那个每边尺寸减少一半的等边三角形，但保留它的三条边，然后对 剩下的三个同样尺寸的等边三角形做同样的事情，接下来再对剩下的九个同样大 小的更小的等边三角形重复做之，这样一直做到无穷；所有那些没有被拿走的点 组成一个集合，它处处稀疏，像海绵一样处处有洞，但包含有不可数个点。这就 是夕尔宾斯基在一百年前构造的“奇怪点集”，它是集合论创始人康托尔(Georg Cantor，1845-1918)在闭区间[0, 1]上构造的著名“康托尔三分集”在平面上的 类似物。这两个图形由于“分形之父”芒德布罗(Benoit Mandelbrot，1924-2010) 于上世纪60年代开创的分形领域而变得大放异彩。现在人们都知道它们的维数分 别为ln2/ln3和ln3/ln2。除此以外，还有两个分形以他的名字命名：夕尔宾斯基 地毯和夕尔宾斯基曲线。但它们都是在那个“数学的光滑函数时代”，由想法 “怪诞”的集合论数学家母亲生下来的被视为登不上微积分大雅之堂的种种怪胎； 类似的例子还有意大利数学家皮亚诺 (Giuseppe Peano，1858-1932)以及德国数 学家希尔伯特(David Hilbert，1862-1943)画出的连续曲线，它们居然能跑遍二 维的正方形。如今，这些超越时代的思想创造出的数学对象已经是自然现象“非 光滑几何”研究中的基本元素。 　　科学巨人革命性工作的出现之初常常是步履维艰的，甚至有被扼杀在摇篮之 中的危险。夕尔宾斯基的前辈同胞哥白尼(Nicolaus Copernicus，1473-1543)提 出的革命性“日心说”就是最好的例子。与夕尔宾斯基同时代的法国数学家勒贝 格(Henri Lebesgue，1875-1941)创造了他的积分理论，但习惯于可微函数黎曼 积分的人根本理解不了他，遂使他成为不受欢迎的“没有导数的函数人”。但是， 真理最终会战胜偏见，如今勒贝格积分早已成了现代分析数学的“通用语言”。 同样，夕尔宾斯基的“分形三角形”和其它几个经典的具有“自相似性”特点的 漂亮点集，经过五十到一百年的冷遇和沧桑，在过去的五十余年中被视为对于众 多自然现象的比光滑几何更自然和更恰当的数学描述。 　　顺便一提，二十年前，美国一所大学的华人几何学教授张新民，把经典的夕 尔宾斯基三角形推广到任意的三角形，所采用的分形构造方法是对三角形的各顶 点作对边的垂线，再去掉由三个垂足所构成的中间那个“垂足三角形”，而保留 其三条边，然后对剩下的与原三角形相似的更小三角形周而复始地做到无穷。对 夕尔宾斯基无比崇拜的张教授将这一大类新的分形命名为“夕尔宾斯基垂足三角 形”，尽管经典的夕尔宾斯基三角形只是其中外形三个角都是60度的那一个。 　　令夕尔宾斯基成名的第一项数学工作是他在大学毕业前最后一年中做的。问 题的叙述不太难懂，其历史涉及一些数学名人，值得提一下。他想解决的问题是 个著名的格点问题，通常被称为“高斯圆问题”。平面上的格点是那些坐标为整 数的点。用N(r)表示以原点为中心、以 r 为半径的圆所包含的格点个数，则存 在常数 C和 α 使得对所有半径 r 都有 　　|N(r) – πr2| < C rα。 　　令 d 为满足上述不等式的最小指数 α。高斯于1837年证明 d ≤ 1。夕尔 宾斯基的主要贡献是他证明可以将此改进到 d ≤ 2/3。1913年，哥廷根大学的 数论与分析学家兰道(Edmund Landau，1877-1938)缩短了夕尔宾斯基的证明，并 称赞这个上界结果是“深刻的”。两年后兰道和剑桥大学的哈代(Godfrey Hardy， 1877-1947)证明 d > 1/2。到了1923年丹麦解析数论学家Johannes van der Corput(1890-1975)证明出d < 2/3。第二年英国分析学家李特尔伍德(John Littlewood，1885-1977)和合作者将它改进到 d ≤ 37/56。苏联数学家维诺格 拉多夫(Ivan Vinogradov，1891-1983)和德国数学家泰希米勒(Oswald Teichmuller，1913-1943)分别于1932和1934年又相继推进了一步。到目前为止， 最佳结果大概是d ≤ 7/11。 　　夕尔宾斯基是一名为数不多的多产数学家，但是他对整个的数学世界，对他 饱受苦难的祖国最伟大的贡献，却在于他一生致力于波兰数学学派的建立与壮大。 他漫长的一生，充分展示了这位波兰数学领袖的眼光、智慧及其对一代代青年数 学家的教导和影响。 　　近现代的波兰既是一个长期遭受外来侵略的国家，也是世人皆知的几大历史 巨人的诞生地。对科学极端诚实的哥白尼、对祖国满腔热爱的肖邦(Frédéric Chopin，1810-1849)以及现代知识女性的楷模居里夫人(Marie Curie，1867-1934) 都是英名响彻云霄的伟大人物。有这样的人文和科学的传统，即便在19世纪曾被 普鲁士、奥地利、俄国三度瓜分的这个欧洲小国，到了20世纪的上半叶，形成集 中在首都及第一大城华沙(Warsaw)和第二大城利沃夫(Lwów；现属乌克兰)的两 大波兰数学学派。华沙学派的强项在于集合论、数理逻辑、点集拓扑和函数论， 它们大都与数学的基础密切相关，在其几十年的发展和壮大过程中，夕尔宾斯基 是名至实归的主要领袖。利沃夫学派主要以泛函分析几大定理的发现和证明著称 于世，直到第二次世界大战结束那年因病去世，巴拿赫(Stefan Banach， 1892-1945)始终是其当之无愧的王者，另一个领袖是发现巴拿赫天才的斯坦豪斯 (Hugo Steinhaus，1887-1972)。波兰数学学派涌现出一大批的杰出学者，包括 领袖数学家夕尔宾斯基、泛函分析集大成者巴拿赫、调和分析权威赞格蒙 (Antoni Zygmund，1900-1992)、拓扑学奇才博苏克(Karol Borsuk，1905-1982)、 美国氢弹之父乌拉姆(Stanislaw Ulam，1909-1984)、拓扑学宗师艾伦伯格 (Samuel Eilenberg，1913-1998)、概率学名家卡茨(Mark Kac，1914-1984)。其 他的几大波兰数学家，如马祖凯维奇(Stefan Mazurkiewicz，1888-1945)、绍德 尔(Juljusz Schauder，1896-1943)、库拉托夫斯基(Kazimierz Kuratowski， 1896-1980)、萨克斯(Stanislaw Saks，1897-1942)、塔尔斯基(Alfred Tarski， 1902-1983)等，都是在国际数学界如雷贯耳的名字。 　　为什么受尽周围列强欺凌，于东边俄国、西边德国之夹缝中挣扎生存的波兰 民族，在一百年前能孕育出一个闻名世界的辉煌数学学派，为人类贡献出如此强 大的一、两代数学家群体？回答这个问题的一条线索，来自于19与20世纪之交的 波兰状况以及夕尔宾斯基的“数学履历”。 　　在夕尔宾斯基的青少年时代，德、奥、俄三国瓜分了波兰，德国人在其占领 区几乎摧毁了波兰文化，华沙和利沃夫分别由俄罗斯和奥地利占领。在华沙俄国 人统治的大中小学校，俄罗斯语驱逐了波兰语，直到进入20世纪不久才由于俄国 革命的兴起而慢慢改变，波兰语终于进入中小学，波兰文化得以继承。利沃夫的 情况稍好，那里的两、三所大学，保持了波兰的科学传统。但是，由于山河破碎， 许多有志青年只好留学国外，如在巴黎大学获得博士学位的亚尼谢夫斯基 (Zygmunt Janiszewski，1888-1920)以及在哥廷根大学求学过的夕尔宾斯基、斯 坦豪斯和马祖凯维奇。第一次世界大战的爆发，导致第二年俄国人撤离华沙，波 兰人民终于建立了自己管理的华沙大学，夕尔宾斯基曾经的助手亚尼谢夫斯基和 学生马祖凯维奇随即被聘为华沙大学的教授。 　　至于夕尔宾斯基，他于19世纪的最后一年进入了俄国人统治的华沙大学数学 与物理系就读，四年后毕业时由于一篇上文所述的关于高斯圆问题的文章而获得 一枚金质奖章。爱国的他不想用被当局强迫使用的俄语发表他的杰出工作，又等 了四年才在一份波兰语的杂志上刊登。那一年他由于康托尔工作的激励开始了集 合论的研究。1906年在Stanislaw Zaremba(1863-1942)和Voronoy门下拿到 Jagiellonian大学的哲学博士学位后，他先去了华沙的一所中学教书，两年后受 聘于利沃夫的Jan Casimir大学担任助理教授，1910年被提升为副教授。在那里 的六年中，他的兴趣扩展到集合论，除了撰写了许多高质量的论文外，他还出版 了三本书，分别是《无理数的理论》(1910)、《集合论概要》(1912)以及《数论》 (1912)。1914到1918是世界大战的四年，大战爆发时夕尔宾斯基滞留在俄国，于 是待在莫斯科与小他一岁刚从哥廷根大学求学四年回国的鲁金合作研究，硕果累 累。大战一结束，他回到了利沃夫，但同年秋，新生的华沙大学向他招手了。夕 尔宾斯基接受了聘书，当年就去了华沙，第二年成为那里的正教授。 　　新加盟的夕尔宾斯基与亚尼谢夫斯基及马祖凯维奇马上强强联手，很快形成 了一个集合论和点集拓扑学的研究中心。然而波兰学派尚未形成，因为一战之前 波兰人办的两所大学总共只有四名数学教授，包括夕尔宾斯基和他的两名博士导 师，分别研究解析几何、数论和集合论、微分方程和微分几何，力量相当薄弱， 新生的一代还未有环境和机会成长。这时候，波兰数学学派的先驱者亚尼谢夫斯 基提出了目光深远的建议。1918年华沙出版的书《波兰科学：它的需求、组织与 发展》中，收录了亚尼谢夫斯基撰写的文章《波兰数学的需求》。他高瞻远瞩地 指出： 　　“要把波兰的科学力量集中在一块相对狭小的领域里，这个领域应该是波兰 数学家共同感兴趣的，而且还是波兰人已经取得了世所公认成就的领域。” 　　这是发展小国波兰现代数学的一条正确道路，与中国革命战争史上的“集中 力量打歼灭战”的指导原则相一致。亚尼谢夫斯基接着写道： 　　“对一个研究者而言，合作者几乎是不可少的。孤独的环境多半会是他一事 无成。……孤立的研究者知道的只是研究的结果，即成熟的想法，却不知道这些 想法是怎样及何时搞出来的。” 　　这就是集中优势建立学派的宏伟思想！更进一步，亚尼谢夫斯基还提出了具 体的措施，其中关键的一个就是“办好一份自己的有特色的数学期刊”。他创办 了波兰民族自己的专业杂志《数学基础》(Fundamenta Mathematicae)。可惜， 在创刊号还未出版之际，才华横溢、年富力强、曾在利沃夫的大学与夕尔宾斯基 共事并担任过其助手的亚尼谢夫斯基，仅仅32岁时就“壮志未酬身先死”，在 1920年死于流行性感冒。建立和发展华沙数学学派的重任，历史性地落在比他大 六岁的夕尔宾斯基身上。就立志建成波兰数学学派的宏图大业而言，他们两人有 点像《水浒》里梁山伯英雄好汉的先后头领晁盖与宋江。晁盖领头农民造反却不 幸早亡，宋江不辱其命，率领众将将造反进行下去。 　　1920年，随着夕尔宾斯基和马祖凯维奇编辑的《数学基础》第一卷的出版， 真正意义下的波兰数学学派，或更严格地说华沙数学学派，步履坚定地慢慢登台 亮相了。当生于1892年的巴拿赫跨入而立之年后，在他的旗帜下，利沃夫学派成 长了，与华沙学派双雄并立，一起构成了屹立于世界数学之林、独树一帜的“波 兰数学学派”！ 　　在华沙，夕尔宾斯基等几位精神焕发的数学教授，开始实施亚尼谢夫斯基提 出的战略设想。他们将一批青年才俊集合在麾下，集中研究集合论、拓扑学、函 数论等基础数学的几大新兴分支，用讨论班的形式助其成长，前面所述的库拉托 夫斯基、萨克斯、赞格蒙、塔尔斯基等就是从这里起步的。 　　波兰青年数学家很快成长起来，《数学基础》刊登的大都是波兰人高水准的 文章。为了扩大影响，尽早让波兰数学传播出去，文章大都是用欧洲通行的英文 和法文写就，尽管国家已经独立，母语可以合法使用。在勒贝格信告夕尔宾斯基 的建议下，杂志也加入了集合论应用的文章。在其影响下，九年后利沃夫也创办 了杂志《数学研究》(Studia Mathematica)，刊登与泛函分析相关的论文。 　　在夕尔宾斯基的主持下，《数学基础》办得很成功，后来成名的波兰数学家 的早期论文很多登在上面，如巴拿赫1920年在利沃夫技术大学完成的博士论文， 以及乌拉姆18岁时在利沃夫技术大学听库拉托夫斯基课时解决一个集合论问题所 写的第一篇文章，都发表在这个杂志上。可以说，《数学基础》是那一代年轻波 兰数学家成长的摇篮和成名的场所。15年后它被誉为在集合论和函数论领域最吸 引国际数学界注意的专业期刊，那年的纪念特刊上记录了一位波兰数学家的自豪 之语： 　　“波兰一向拥有伟大的人物，他们往往工作得十分成功，能够属于整个领域 和那一时代的亦非少见。但是，现在的波兰数学家不仅有杰出的个人，而且有一 个人数众多的组织起来的全力进行创造性科学工作的团体，它已经有了自己的数 学学派。” 　　上段评述概括了波兰数学学派为何迅速崛起的前因后果。首先是历史的传承， 这是一个产生过哥白尼的伟大国家，寻求真理而不是寻求功利已成人们精神层面 上的常态。其次有夕尔宾斯基为首的“华沙三剑客”和巴拿赫及斯坦豪斯“利沃 夫两先锋”这样的领路人。剩下的就是这个学派的主体——一批既有数学天赋又 像肖邦那样有家国情怀，力图让祖国在科学上强盛的青年才俊。 　　如果我们检视一下波兰数学家的“家族树”，就可看出夕尔宾斯基有多少个 “徒子徒孙”。他于1913年指导了马祖凯维奇的博士论文，后者分别于1922、 1923及1930年指导了萨克斯、赞格蒙和博苏克的博士论文，并与亚尼谢夫斯基于 1921年共同指导了库拉托夫斯基的博士论文，而库拉托夫斯基则于1933年指导了 乌拉姆的博士论文，三年后又指导了艾伦伯格的博士论文。这些杰出学生后来在 波兰、美国等地带出了大量的数学博士。 　　在夕尔宾斯基指导下于1924年完成博士论文的奈曼(Jerzy Neyman， 1894-1981)，后来成了世界著名的数理统计学家。在搬到美国加州大学伯克利校 区任教前，他于30年代末期在英国的伦敦大学学院指导了中国人许宝騄 (1910-1970)的博士论文。许宝騄40年代对多元统计等有开创性的贡献，对奈曼- 皮尔逊理论的建立和发展有杰出的工作，在中国是和华罗庚(1910-1985)及陈省 身(1911-2004)齐名的“西南联大数学三剑客”，他们三人1948年都被当选为中 央研究院的首届院士。1945到1947年，许宝騄是加州大学伯克利校区、哥伦比亚 大学和北卡大学教堂山校区统计系的访问教授。奈曼和库拉托夫斯基各自都有超 过2500名的博士后代。 　　夕尔宾斯基最优秀的学生之一库拉托夫斯基不仅于1980年在波兰科学出版社 出版过历史回顾《波兰数学五十年》，在导师逝世三年后也专门在夕尔宾斯基生 前担任主编的数论学术期刊Acta Arithmetic上著文回忆老师，感情真挚而丰富， 评述客观而贴切。对于夕尔宾斯基对集合论的贡献，库拉托夫斯基这样评价： “这个学科形成系统理论主要归功于夕尔宾斯基。他基于1909年所写教材，1912 年出版的《集合论概要》是世界上对这一理论最早的系统阐述之一。” 　　在库拉托夫斯基的眼中，两次世界大战之间的那二十年，是夕尔宾斯基的科 学生涯最为辉煌的时期，那是他从36岁到57岁的壮年期间：无数的学术论文、关 于“Zermelo-Fraenkel集合论及广义连续统假设隐含选择公理”的杰出工作，以 及像华沙科学会主席诸如此类的繁忙学术领导行政事务。至于这个阶段波兰年轻 学者的茁壮成长，库拉托夫斯基如此写道：“……大量学生的教育，数目如此之 大以至于几乎每一位年轻的波兰数学家直接或间接地都是夕尔宾斯基的学生。” 前面已经举了几个夕尔宾斯基直接或间接弟子的名字，看来人们可以对数学家们 像定义与匈牙利传奇数学家爱尔特希(Paul Erd?s，1913-1996)相关的“爱尔特 希数”那样类似地定义“夕尔宾斯基数”了，方法是将前者定义所依据的“合作 论文作者关系”改为“博士论文师生关系”。 　　二战的爆发起始于1939年9月1日纳粹对波兰的闪电式入侵。这场浩劫，仅仅 波兰籍数学家的非正常死亡，人数就达到将近一半，尤其是具有犹太血统的。创 造出著名不动点定理的绍德尔和对积分论贡献不凡的萨克斯被德寇枪杀，马祖凯 维奇和巴拿赫遭受德国人迫害，分别在1945年二战胜利日前两个月和前两天去世。 乌拉姆和卡茨因战前去了美国，保住了性命，也为美国做出了巨大的贡献。其他 逃到那里的波兰数学家，如赞格蒙、塔尔斯基和艾伦伯格等，为美国培养了新一 代的数学家，如赞格蒙于芝加哥大学指导的博士斯坦(Elias Stein，1931-2018) 获得1999年度的沃尔夫数学奖，他在普林斯顿大学带出的优秀博士生中，有费弗 曼(Charles Fefferman，1949-)和陶哲轩(Terence Tao，1975-)两位菲尔兹奖获 得者。 　　在那残酷的战争年代，夕尔宾斯基没有离开祖国，而是帮助爱国同胞的抵抗 运动，在“地下华沙大学”为少量学生教授数学，并继续钻研学问，完成了十几 篇文章和几本著作。他设法将他的论文寄到意大利，这些文章的最后一句话都是： “这些定理的证明将在《数学基础》的出版中出现。”这是他坚信他的研究结果 将会在祖国解放之日发表的铿锵之言！在他的一生中，爱国是生命里的主旋律。 早在1919-1921的波兰-苏联战争中，夕尔宾斯基就和马祖凯维奇帮助国家密码局 破译对方的军事密码。后来在反法西斯的岁月里，三位年轻的波兰数学家为破译 德国的密码立下了汗马功劳，其中雷耶夫斯基(Marian Rejewski，1905-1980)为 之证明的一条定理被誉为“打赢第二次世界大战的数学定理”！ 　　追寻上个世纪的波兰数学发展史以及与此密切相关的夕尔宾斯基个人奋斗史， 给当今希望早日实现数学强国之梦的中国数学界不无启发。历史上，称之为“数 学学派”的团体并不多见，著名的有以克莱因(Felix Klein，1849-1925)和希尔 伯特为领袖的德国哥廷根学派、以切比雪夫(Pafnuty Ljvovich Chebyshev， 1812-1894)为旗帜的俄国圣彼得堡学派及以鲁金为代表的莫斯科函数论学派、以 维诺格拉多夫(Ivan Matveevich Vinogradov，1891-1983)、亚历山大罗夫 (Pavel Sergeevich Aleksandrov，1896-1982)、柯尔莫哥洛夫(Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903-1987)等为中心的苏联数学学派。 　　在中国的现代数学史上，即便陈建功(1893-1971)和苏步青(1902-2003)在浙 江大学于各自的领域培养了一批人才，但他们与学生群体尚未形成在本专业傲视 群雄的一代学派。40年代尚在国内的陈省身尽管在微分几何领域做出了世界级的 成果，也提携了吴文俊(1919-2017)等一批数学新秀，但由于他随即赴美并长期 定居那里任教，也未能有机会帮助祖国建立微分几何的中国学派。只有从50年代 起，由于华罗庚的归国，一批杰出青年数学家快速成长，逐步形成了一个规模不 大的中国数学学派，尤其在解析数论方面在世界数坛占有一席之位。这个解析数 论的学派迄今已经传承了至少三代，以陈景润(1933-1996)和张益唐(1955-)为其 杰出代表。 　　然而，华罗庚时代的中国数学学派，未能像波兰学派那样在几个重要领域成 为世界的翘楚。华罗庚60年代前的数学成就可能直追夕尔宾斯基，其开创性甚至 可能与之旗鼓相当，他也和对方一样具有强烈的爱国热忱，希望通过发现、挖掘 数学天才，帮助他们迅速成长，做出举世闻名的工作，籍以提高整个中华民族在 世界数学之林中的地位。这也是他当年毅然离美返国的根本原因之一。但是，中 国不像波兰，科学启蒙的历史沉淀太少，儒家文化的消极影响太大，功利主义的 影子随处可见，加上有时非学术因素的客观干扰，使得形成长久稳固学派的努力 难以奏效。忆往昔，看今朝，中国数学界几十年如一日缺乏团结精神，缺乏宽容 气度，缺乏民主意识，已是路人皆知的事实。甚至于今日，国内两大数学势力不 肯携手并进，联合培养人才，结果是追求真理和学问似乎必须让位于追求权力和 威望。在这样的背景下，成就一个众望所归的数学学派绝非易事。 　　中国数学界一直想求解本世纪成为数学强国的“陈省身之问”。他老人家晚 年回国定居，对提升中国的数学不遗余力。虽然他对采访者也直言“数学研究主 要是个人的事”，但他心目中的中国数学应该像苏联时代的俄罗斯那样人才济济 一堂、学派百花齐放。中国有众多的可塑之才，只要环境合适，杰出人物总会脱 颖而出，目前的发展势头正朝这方向前进。但仅仅个人的奋斗对于形成一个受人 尊崇的科学学派还不充分。一个学派的诞生与持续，靠的是一部分本领域精英的 共同努力。他们需要有共同的目标和理想，他们必须要团结一致，他们要做到心 胸宽广，他们必定要克服私心。总之，他们一定要让自己成为好的研究者、好的 组织者、好的领导者、好的行动者、好的青年导师。夕尔宾斯基的一生实践，给 我们提供了借鉴。 　　2021年10月21日 　　于夕尔宾斯基逝世52周年纪念日 　　美国哈蒂斯堡居所夏日山庄