◆              经典悖论漫游(上)                ·泽 熙·   古今中外有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求 知和精密的思考,吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题 需要创造性的思考,悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。   本文将根据悖论形成的原因,粗略地把它归纳为六种类型,分上、中、下三 个部份。这是第一部份: 由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论 (一)由自指引发的悖论   以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题:如果从肯定命题入手,就 会得到它的否定命题;如果从否定命题入手,就会得到它的肯定命题。 1-1 谎言者悖论   公元前六世纪,哲学家克利特人艾皮米尼地斯(Epimenides): “所有克利特人都说谎,他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的 来源。   《圣经》里曾经提到:“有克利特人中的一个本地中先知说:‘克利特人常 说谎话,乃是恶兽,又馋又懒’”(《提多书》第一章)。可见这个悖论很出名, 但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。   人们会问:艾皮米尼地斯有没有说谎?这个悖论最简单的形式是: 1-2 “我在说谎”   如果他在说谎,那么“我在说谎”就是一个谎,因此他说的是实话;但是如 果这是实话,他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版: 1-3 “这句话是错的”   这类悖论的一个标准形式是:如果事件A发生,则推导出非A,非A发生则 推导出A,这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的 表达。   哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论,并试图找到解决的办法。他在《我 的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道:“自亚里士多德以来,无论哪一个 学派的逻辑学家,从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有 些东西是有毛病的,但是指不出纠正的方法是什么。在1903年的春季,其中 一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”   他说:谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾:“那个说谎的人说: ‘不论我说什么都是假的’。事实上,这就是他所说的一句话,但是这句话是指 他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” (同上)   罗素试图用命题分层的办法来解决:“第一级命题我们可以说就是不涉及命 题总体的那些命题;第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题;其余仿 此,以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“1903年和1904年这 一整个时期,我差不多完全是致力于这一件事,但是毫不成功。”(同上)   《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的,并且使 用逻辑术语说明概念,回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是:“发 表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见,从数学基础的逻辑上彻底地 解决这个悖论并不容易。   接下来他指出,在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”,就是说,“ 它包含讲那个总体的某种东西,而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比 较容易理解,如果这个悖论是克利特以为的什么人说的,悖论就会自动消除。但 是在集合论里,问题并不这么简单。 1-4 理发师悖论   在萨维尔村,理发师挂出一块招牌:“我只给村里所有那些不给自己理发的 人理发。”有人问他:“你给不给自己理发?”理发师顿时无言以对。   这是一个矛盾推理:如果理发师不给自己理发,他就属于招牌上的那一类人 。有言在先,他应该给自己理发。   反之,如果这个理发师给他自己理发,根据招牌所言,他只给村中不给自己 理发的人理发,他不能给自己理发。   因此,无论这个理发师怎么回答,都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素 在一九○二年提出来的,所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有 故事情节的表述。显然,这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。 1-5 集合论悖论   “R是所有不包含自身的集合的集合。”   人们同样会问:“R包含不包含R自身?”如果不包含,由R的定义,R应 属于R。如果R包含自身的话,R又不属于R。   继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后,1931年歌德尔(Kurt Godel ,1906-1978,捷克人)提出了一个“不完全定理”,打破了十 九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指 出:任何公设系统都不是完备的,其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的 命题。例如,欧氏几何中的“平行线公理”,对它的否定产生了几种非欧几何; 罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。 1-6 书目悖论   一个图书馆编纂了一本书名词典,它列出这个图书馆里所有不列出自己书名 的书。那么它列不列出自己的书名?   这个悖论与理发师悖论基本一致。 1-7 苏格拉底悖论   有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底(Socrates,公元前470 -前399)是古希腊的大哲学家,曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家 相对。他建立“定义”以对付诡辩派混淆的修辞,从而勘落了百家的杂说。但是 他的道德观念不为希腊人所容,竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普 洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后,苏格拉底也被处以死刑,但是他的学说 得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。   苏格拉底有一句名言:“我只知道一件事,那就是什么都不知道。”   这是一个悖论,我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不 知道。古代中国也有一个类似的例子: 1-7 “言尽悖”   这是《庄子·齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道:如果“言尽悖”,庄 子的这个言难道就不悖吗?我们常说: 1-7 “世界上没有绝对的真理”   我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。 1-8 “荒谬的真实”   有字典给悖论下定义,说它是“荒谬的真实”,而这种矛盾修饰本身也是一 种“压缩的悖论”。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”,意 思是“多想一想”。   这些例子都说明,在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。有 没有进一步的解决办法?在下面一节的最后一部份还将继续探讨。 (二)引进无限带来的悖论   《墨子·经说下》中有一句话:“南方有穷,则可尽;无穷,则不可尽。” 如果在有限中引进无限,就可能引起悖论。 2-1 阿基里斯悖论   稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea),曾经提出过一些 著名的悖论,对以后数学、物理概念产生了重要影响,阿基里斯悖论是其中的一 个。   阿基里斯(Achilles)是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲:阿基里 斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟,因为当他要到达乌龟出发的那 一点,乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小,但永远追不 上乌龟。   方励之先生曾经用物理语言描述过这个问题:在阿基里斯悖论中使用了两种 不同的时间度量。一般度量方法是:假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S, 速度分别为V1和V2。当时间T=S/(V1-V2)时,阿基里斯就赶上了 乌龟。   但是芝诺的测量方法不同:阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点,这 个时间为T'。对于任何T',可能无限缩短,但阿基里斯永远在乌龟的后面。 关键是这个T'无法度量T=S/(V1-V2)以后的时间。 2-2 二分法悖论   这也是芝诺提出的一个悖论:当一个物体行进一段距离到达D,它必须首先 到达距离D的二分之一,然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无 穷地划分下去。因此,这个物体永远也到达不了D。   这些结论在实践中不存在,但是在逻辑上无可挑剔。   芝诺甚至认为:“不可能有从一地到另一地的运动,因为如果有这样的运动 ,就会有‘完善的无限’,而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在T时追上 了乌龟,那么,“这是一种不合逻辑的现象,因而决不是真理,而仅仅是一种欺 骗”。这就是说感官是不可靠的,没有逻辑可靠。   他认为:“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论,芝诺还提出了 一个类似的运动佯谬: 2-3 “飞矢不动”   在芝诺看来,由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置,它在这个 位置上和不动没有什么区别。那么,无限个静止位置的总和就等于运动了吗?或 者无限重复的静止就是运动?中国古代也有类似的说法,如: 2-4 “飞鸟之景,未尝动也”   这是中国名家惠施的命题,与“飞矢不动”同工异曲。这就是不可抗拒的推 理和不可回避的实事相冲突。   德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》,称芝 诺的悖论为“否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完 全合乎事实,但为什么“不合逻辑”?因为芝诺运用了“无限”这个概念,这是 一种逻辑上的假设,而现实世界里是不可能有无限者存在的,这就出现了假设与 现实的矛盾。   尼采说道:在这两个悖论里,“无限”被利用来作为化解现实的硝酸。如果 无限是决不可能成为完善的,静止决不可能变为运动,那么,真相是箭完全没有 飞动,它完全没有移位,没有脱离静止状态,时间并没有流逝。   换句话讲,在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中,既没有时间、空间,也 没有运动。最后,连箭本身也是一个虚象,因为它来自多样性,来自由感官唤起 的非一的幻象。下面是尼采的分析:   假定箭拥有一种存在,那么,它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定 的、永恒的。这是一个荒谬的观念!   假定运动是真正的实在,那么,就不存在静止。因而,箭没有位置、没有空 间。又是一个荒谬的观点!   假定时间是实在的,那么,它就不可能被无限地分割。箭飞行所需要的时间 必定由一个有限数目的瞬间组成,其中每个瞬间都必定是一个原子。仍然是一个 荒谬的观念!   尼采得出这样的结论:我们的一切观念,只要其经验所与的、汲自这个直观 世界的内容被当作“永恒真理”,就会陷入矛盾。如果有绝对运动,就不会有空 间;如果有绝对空间,就不会有运动;如果有绝对存在,就不会有多样性;如果 有绝对的多样性,就不会有统一性。   事实上,这两个悖论中提到的这个“动与不动”的对立统一,今天都已经得 到了完美的解决,这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时,初创微积分, 但由于没有巩固的理论基础,出现了历史上的“第二次数学危机”。十九世纪初, 法国科学家以柯西为首建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进 一步的严格化,使极限理论成为微积分的坚定基础,运动问题也得到了合理的解 释。   可以想见,在微积分和极限理论发明或被接受以前,人们很难解释这一运动 佯谬。感官不同于思维,当希腊人用概念来判决现实的时候,如果逻辑与现实发 生矛盾,芝诺指责感官为“欺骗”。当思维找不到合理解释的时候,直观的形式、 象征或比喻都无济于事。尼采的分析虽然详细、精辟,但他无法把它们综合起来。 2-5 “一尺之捶,日取其半,万世不竭”   这是《庄子·天下》中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无 限的概念。   战国名家宋国人惠施(约公元前370-前310)曾任梁国的宰相,论辩 奇才,是庄子的朋友,和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚,只 能从其他诸家的论述中看到他的言行片段。   惠施的学说强调万物的共相,因而事物之间的差异只是一种相对的概念,现 存与惠施有关的奇怪命题,例如,“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“ 犬可以为牛”、“火不热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝有母”等, 都可以说是悖论,但是大部份没有留下具体的争辩过程。惠施的悖论在西方也很 有影响。   毛泽东从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点。一九六四年八月十八 日,他同哲学工作者谈话时说:“列宁讲过,凡事可分。举原子为例,不但原子 可分,电子也可分。”又说:“电子本身到现在还没有分裂,总有一天能分裂的。 ‘一尺之捶,日取其半,万世不竭’,这是个真理。不信,就试试看。如果有竭 就没有科学了。”   有人注意到,毛泽东十分偏爱这句话,如五十年代中期对家钱三强,一九六 四年八月同周培源、于光远,一九七三年、一九七四年接见杨振宁、李政道,等 等,都提到这句话。 2-6 “1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多”   多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍。二十三岁获博士学位的德 国数学家康托尔(1845-1918)六年以后向无穷宣战。他成功地证明了: 一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应。 由于无限,1厘米长的线段内的点,与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点 都“一样多”。   然而,康托尔的“无穷集合”与传统的数学观念发生冲突,遭到谩骂。直到 一八九七年第一次国际数学家会议,他的成果才得到承认,几乎全部数学都以集 合论为基础。罗素称赞他的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”   同时,集合论中也出现了一些自相矛盾的现象,尤其是罗素的理发师悖论, 以极为简明的形式震撼了数学的基础,这就是“第三次数学危机”。此后,数学 家们进行了不懈地探讨。   例如,一九九六年英国剑桥大学出版社出版了亨迪卡的《数学原理的重新考 察》,这本书以罗素的《数学原理》(1903)为蓝本的,试图完善逻辑和数 学基础。它主要阐述了亨迪卡和桑朵新创的IF(Independence-Friendly First -Order Logic)逻辑及其可能产生的影响。它挑战了许多公认的观念,如公理集 合论作为数学理论的适当框架,对说谎者悖论也作了进一步的探讨。它是否将引 起一场逻辑和数学基础的革命?我们还将拭目以待。 (1999年11月22日于美国)