◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.xlogit.com)◇◇   丘成桐:中国人完成了最后一步   2006-06-05《科学时报》   本报记者 王丹红   6月2日,专程从美国来到北京的丘成桐教授拿着最新一期《亚洲数学期刊》 说:“这是一篇实实在在的重要论文。最重要的是,文章从头开始,完完整整地 将整个证明过程一步一步地写得清清楚楚。从来没有人有能力做过这件事,即使 Thurston也没有把自己的工作写清楚。这篇论文从头到尾,每句话我都看了。论 文经过审稿,实实在在,可以当大学里的教材。”   被丘成桐大加赞扬的这篇论文,就是两位中国数学家——朱熹平和曹怀东最 终证明庞加莱猜想的论文。在丘成桐看来,这篇长达328页的论文注定要在数学 史上留下自己的位置。   丘成桐说:“庞加莱猜想的解决是多位科学家共同努力的结果,最后写出整 套证明方案的是两位中国数学家。从我的朋友Thurston 开始,到Hamilton,再 到 Perelman先生,他们的贡献都非常大。最后一步是两位中国数学家完成的, 就像盖了幢大楼,从基础开始,还没有封顶,他们的工作就是封顶。”   在接受《科学时报》独家专访时,丘成桐向记者讲述了庞加莱猜想被证明的 来龙去脉。   三维庞加莱猜想的证明非常困难   1905年,法国数学家庞家莱提出著名的“庞加莱猜想”:在一个三维空间中, 假如一条封闭的曲线能收缩成一点,那么这个空间一定是三维的圆球。后来,这 个猜想被推广至三维以上空间,被称为“高维庞加莱猜想”。   丘成桐说,庞加莱猜想和三维空间几何化的问题是几何领域的主流,它的证 明将会对数学界流形性质的认识,甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响。 庞加莱猜想和黎曼猜想共同被认为是数学领域最著名的两个猜想。几乎所有的数 学家都梦想解决这两个问题。   高维庞加莱猜想的证明比低维庞加莱猜想要容易一些。20世纪60年代初,两 位美国数学家Smale 和Stallings发表论文,证明了五维及五维以上的庞加莱猜 想,Smale因此获得1966年的菲尔茨奖,但这种方法无法用于证明三维与四维空 间庞加莱猜想;1983年,美国数学家Freedman发表论文,证明了四维庞加莱猜想, 因此获得1986年的菲尔茨奖,但这种方法无法再向前推进。   丘成桐说,解决庞加莱猜想有几种不同的途径,刚开始是拓扑学的方法,即 所谓切割方法,但这个方法到20世纪70年代就很难再进一步了。1978年,美国数 学家Thurston引进几何结构的方法来做切割,这个方法很重要,他因此获得1983 年的菲尔茨奖,但这个方法也无法再向前推进。   关键一环:微分几何分析方法   1972年,丘成桐和李伟光发展出用非线性微分方程的方法来研究几何结构, 丘成桐用这个方法证明了卡拉比猜想和复几何上的庞加莱猜想。由此,丘成桐知 道几何分析方法有助于庞加莱猜想的解决。   1982 年,丘成桐的朋友、康奈尔大学的Hamilton发表一篇文章,提出一种 新方程来构造几何结构。但Hamilton是用微分方程的方法来做的,不同于 Thurston的几何结构方法。丘成桐看出其中的重要性,建议Hamilton用他和李伟 光的几何分析方法来做庞加莱猜想和三维空间几何化的问题,同时,让自己的4 位博士生开始这个研究,而曹怀东就是其中一位,他的博士论文就是这方面的工 作。丘成桐的另两位中国学生也对这项工作有着奠基性贡献,其中一位是来自中 国科学院数学所的施皖雄。   1982年时,丘成桐是普林斯顿高等研究中心的教授,曹怀东是附近普林斯顿 大学的研究生,他慕名成为丘成桐的博士生,也成为丘成桐第一位来自中国大陆 的学生。1984年,丘成桐到加州大学圣地亚哥分校做教授,曹怀东跟他到了圣地 亚哥。丘成桐同时邀请Hamilton和加州大学伯克利分校的Schoen教授到圣地亚哥 分校。丘成桐说:“在圣地亚哥,Hamilton的办公室就在我的隔壁,我们之间有 很多讨论。”   可是,Hamilton研究过程中遇到一个重要问题:在用曲率方法推动空间变化 时遇到了奇怪的点,如何处理奇异点就成为整个庞加莱猜想证明中最重要的一部 分。   处理奇异点的发生是几何分析上的问题,刚好丘成桐和李伟光发现了一种处 理非线性微分方程的方法。于是,丘成桐建议Hamilton一试。后来, Hamilton 花了很多功夫将这种方法用在他的方程上,得到了重要结果。1993年,Hamilton 发表一篇重要论文,开始对奇异点问题有了深刻了解,但如何切掉奇异点又是一 个新的困难。   丘成桐说:“因为奇异点的产生有很多种,多姿多彩,必须掌握控制它们的 方法,这需要很多仔细的分析和几何结构上的研究。朱熹平和曹怀东在Hamilton 和Perelman关键性工作的基础上最后解决了这个问题,所以,他们为这个猜想的 解决封了顶。”   1995年,丘成桐看到了解决庞加莱问题的大趋势,他邀请Hamilton到中国讲 学,并向我国数学界发出“全国向Hamilton学习,一定会有成就”的口号,但最 后,只有朱熹平响应了这个口号。   一个证明 半年讲解   1994年,朱熹平首次在香港中文大学数学研究所的讨论班上遇见丘成桐。 1997年,丘成桐建议朱熹平集中精力到庞加莱猜想的证明上。之后,丘成桐每年 邀请朱熹平到香港中文大学工作半年,其间他们有许多讨论。   2002 年11月,俄罗斯数学家Grigory Perelman在网上公布了一个研究报告, 声称证明了由Thurston25年前提出的有关三维流形的“几何化猜想”,而庞加莱 猜想正是后者的一个特例。4个月后,Perelman在网上发布第二份报告,介绍了 更多的证明细节。当时,许多数学家以为Perelman证明了庞加莱猜想,2003年4 月5 日的《纽约时报》就曾以《俄国人报告著名数学问题解决了》为题首次向公 众披露了这个消息;同日,数学网站MathWorld的头条新闻是:庞加莱猜想被证 明了,这一回是真的。但随后,数学家们发现了Perelman的证明不完整,有漏洞。   就在Perelman公布其研究时,朱熹平对庞加莱猜想的研究也有了部分结果。 不久后,Perelman的证明开始接受专家评审。   竞争非常激烈。丘成桐调兵遣将,让曹怀东在2003年夏天开始和朱熹平合作。 2005年,两人解决了最后的问题。   2005年初夏,丘成桐建议哈佛大学邀请朱熹平到哈佛数学系访问半年,获得 数学系全体教授一致同意。当年9月,朱熹平来到哈佛大学,他的主要任务就是 向专家讲解他们的证明论文。   从2005年9月到2006年3月,朱熹平每周在哈佛大学讲3个小时,共讲70多个 小时。丘成桐说:“听他讲解的教授有5~6位,包括我和哈佛数学系主任在内。 我从头到尾地听,他一句句地讲解,因此,我对整个过程相当了解。这么大的问 题,用2到3个小时是讲不明白的。朱熹平小心地花了几十个小时来讲,这不是件 容易的事。”   我为中国骄傲   谈到数学家们对庞加莱猜想证明的贡献,丘成桐说:“庞加莱猜想最后证明 所用的方法与拓扑学的关系并不大,而是完全用了我和很多朋友在30多年前发展 的几何分析方法。Hamilton是整个庞加莱猜想证明过程中的主帅、领导人,他是 一个伟大的数学家,是我所能看到的少数具有原创性的数学家之一。Perelman先 生增加了很重要的部分,朱熹平和曹怀东解决了最后的问题,他们为这个问题封 了顶。”   丘成桐为中国数学家的这一杰出成就深感高兴,他选择论文正式发表后的第 三天在北京中国科学院晨兴数学研究中心公布这个消息。他说:“这是我创立的 研究所,朱熹平和曹怀东在这里有过许多讨论,这不是一项普通的成就,是大成 就。中国人做出这么好的工作,我为中国骄傲!他们用了我和朋友30多年前发展 出来的方法,我也为此骄傲。我发展了很多工具,总是希望看到它们的应用和成 长。”   这是一个长江后浪推前浪的故事。丘成桐说:“好的学问都是年轻时做出的。 在整个几何分析法上,我花了很多功夫。在这方面我是一个领袖人物。我一直很 想做庞加莱猜想,做了很久,也用了很多方法,但最后没办法做出来。这很艰难。 我的学生能做出这样好的工作,我当然很高兴。这是可以在历史上留名的工作, 希望能借此将整个中国数学界的风气改正过来。做数学就要真正对数学本身有贡 献,而不是为后面的荣誉和名利。” (XYS20060606) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.xlogit.com)◇◇