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　　做预测的数字游戏

　　寻正

　　讲解一个数学问题，非得要演变成我行你不行的争论，真是有趣，那位“小
张”把别人观点抄上重写一遍，然后把大家都教训一通，奥卡姆剃刀也变得骄傲
起来了，“你看得头大是你对相关理论掌握得不好”，真的吗？我理解是，我看
得头大，是因为即使你正确，也没写清楚，丢三拉四，说不定你还可能搞错了呢。

　　概念的组合运用，向来是写作的基本功，我用“抽样概率”、“基本概率”、
“概率压缩”、“阳性事件准确率”、“随机概率”等词，我不知道是否规范，
当然，如果奥兄能够指点我规范的概念是什么，那就感激不尽了，说我是民科，
我还真不敢还嘴，所谓民科，专业外的愈在专业问题上露一手的人，那样说来，
本人还真是个民科。咱们去当民科，或许会对民科一类人物添点谦虚成份，也算
一件功德。在我解释我创造的概念以前，也顺便提醒奥兄一下，你使用“先验概
率”与“后验概率”，也未必是什么规范之作，甚至就是错误的。那位“小张”
的批评是正确的，平常所谓的概率，就是指先验概率（Prior Probability），
无条件的概率（亏得有位叫Woot的网友指正，在此表示感谢），而后验概率
(Posterior Probability)，指条件概率。

　　抽样概率：不管下雨如何变化，在一段时间内如何分布，咱们随机抽一天，
其下雨的概率，这跟指定某一天，来考证当天下雨的概率，不是同一个概念。

　　基本概率：也就是单纯的概率，不受条件限制的概率，实际上是抽样概率，
只不过是加了单位的，比如说，以天为单位的基本概率，以小时为单位的基本概
率等。

　　概率压缩：这在原文中解释得够清楚的了，因为概率条件发生了变化，表面
看起来是同一个概念的“概率”在变大，我把它叫概率压缩，不知道别人把这种
现象称为什么（敬请指点），或者懂概率的对概率理解无误，没必要称为什么。

　　阳性事件准确率：有雨是阳性事件，无雨是阴性事件，针对有雨进行预测，
其预测的准确度（或者说准确概率），就是阳性事件准确率，比如预测10次，中
了8次，就叫80%的准确率，也就是P（阳性事件｜预测阳性）＝80%。奥兄本人也
采用了“先验后验”的说法，我这里指的是“先验”，那么“后验”则是10次下
雨，预测中了8次，二者是不一样的，只管一个高，预测就没有价值了，比如我
全报雨，那么“后验”概率就是100%，所以，一般而言，准确率指的应该是总体
的预测准确率。

　　随机概率：我行文中的明确地是指事件本身的发生，呈随机规律（即没有规
律）。如果是随机概率，则没有预报价值，没有规律，那你怎么猜得中？最佳应
对措施，就只有使用基本概率，比如说，每个小时，都当作10%的可能性有雨。

　　咱们检验奥兄的预报有雨果真下雨的计算：

　　P（雨）＝0.1，那么P（晴）＝1-0.1＝0.9，这是小时降雨概率
　　奥兄把0.8弄成P（报雨｜雨），也就是把预报准确率理解成为有雨时报雨的
概率，那么，P（报晴｜雨）＝1-0.8＝0.2

　　按全概率公式，P（报雨）＝P（报雨｜雨）*P（雨）+P（报雨｜晴）*P（晴）

　　奥兄把P（报晴｜雨）直接安在P（报雨｜晴）上面了，所以得了0.26的P
（报雨）概率。或许奥兄查过原文，有额外信息交待
　　P（报雨｜晴）＝P（报晴｜雨）？

　　那也巧得过分了点。如果有那样的额外信息，或者是你要做此假定，实在是
需要在讨论中交待。知道我为什么读得头大了么？

　　咱们再继续按Bayes公式算：

　　P（雨｜报雨）＝P（报雨｜雨）*P（雨）/P（报雨）＝0.8*0.1/0.26＝31%

　　你这30%难道不有凑数之嫌？我的假定是总体预报接近真实概率（即晴雨
比），则一开始就交待了。按照奥兄的计算，那么搞天气预报的人，要报基础概
率2.6倍的雨，也不知是否真是如此。奥兄把预报准确率同时理解为有雨报雨率，
晴天报晴率，咱们看看如此状态下的预报准确率罢：

　　P（晴｜报晴）＝P（报晴｜晴）*P（晴）/P（报晴）＝0.8*0.9/0.74＝97%

　　报晴肯定晴，报雨靠不住。我原文中的批评，是基于认定准确率是奥兄所谓
的“先验概率”，即先报后验的概率而发的。这里预报是要按小时来算的。

　　天气预报一般是按天来做的，那么：

　　P（雨天）＝0.4，P（晴天）＝0.6；如果按奥卡姆剃刀的理解：
　　P（报雨｜雨天）＝P（报晴｜晴天）＝0.8，
　　P（报晴｜雨天）＝P（报雨｜晴天）＝0.2
　　P（报雨）＝P（报雨｜雨天）*P（雨天）+P（报雨｜晴天）*P（晴天）＝
0.44
　　P（报晴）＝0.56
　　P（雨天｜报雨）＝0.8*0.4/0.44＝0.73；P（晴天｜报晴）＝0.8*0.6/0.56
＝0.86

　　报晴报雨，准确率差距就不那么大，雨天每小时有雨机率25%，随机一小时
在当天有报雨时的有雨概率P（雨｜报雨天）＝0.73*0.25＝18%。

　　这种教科书式的计算是没有意义的，因为下雨与否不是随机事件，这些纯概
率计算得到的概率是靠不住的，天气有连续性，前一个小时的天气对后一个小时
有极大的预报价值，而气象学家做天气预报，肯定用的不是简单的概率计算。

　　上述概率讨论对此前新语丝上讨论地震，尤其是大震来说，极有意义。如果
我们把预报准确率定为P（报｜震），我们作如下假定：

　　P（震）＝0.5%，P（不震）＝99.5%，如果我们象中国地震预测专业户那么
预报，每年365天，他们报50天震（即他们在期望不到两个地震时，却要报50个
出来）：

　　P（报）＝14%，P（不报）＝86%，报了要震的机率是3%，即
　　P（震｜报）＝3%，那么
　　P（不震｜报）＝1-3%＝97%
　　P（报｜不震）＝P（不震｜报）*P（报）/P（不震）＝97%*14%*99.5%＝
13.65%

　　P（不报｜不震）＝1-13.65%＝86.35%
　　P（报｜震）＝P（震｜报）*P（报）/P（震）＝3%*14%/0.5%＝84%
　　P（预测准｜事件）＝P（不报｜不震 或者 报｜震）＝P（不报｜不震）*P
（不震）+P（报｜震）*P（震）＝86.35%*99.5%+84%*0.5%＝86.34%

　　奥卡姆剃刀对预报准确度创造性地解释，倒是指明了翁文波那位地震预报院
士如何把预报准确率做到了80%以上的，概率论功不可没呀。可惜，那种准确率
毫无价值，以他们86%的准确率，大家成天搬家，把腿都磨细。上述总体预测准
确率也是P（事件｜预测），即“先验”性的准确率：

　　P（不震｜不报）＝P（不报｜不震）*P（不震）/P（不报）＝
86.35%*99.5%/86%＝99.9%
　　P（事件发生｜预测）＝P（震｜报 或者 不震｜不报）＝3%*14%+99.9%*86%
＝86.33%（差异是取整造成的）

　　大家记得我在最初讨论概率一文中说，“对预报而言，总体准确率要高于预
报事件阳性或者阴性的最大基础概率才有意义。”这里以实际例子说明了为什么
我会那么说，因为这里预报的准确率比P（不震）小得多，尽管这里预报事件后
事件发生的机率远比基础机率高，但整体效益为负，因为狼来得太多。

　　我们还可以进一步放松条件，比如我们假设，翁公波院士与中国预测集团公
司的各位代表只会猜，猜中的机率是0.5%，但他们仍要报50个震出来：
　　P（震｜报）＝0.5%，P（不震｜报）＝99.5%
　　P（报｜不震）＝14%，P（不报｜不震）＝86%
　　P（报｜震）＝14%，P（测准）＝99.5%*86%+0.5%*14%＝85.64%

　　准确率上有多大差异？所谓数字游戏人人会玩，各人动机不同也。咱们再次
回到奥卡姆剃刀的假定上，如果以小时为单位进行预报，他直接用了80%的准确
度作为分析基础，可惜那样的准确度没有价值，因为稍有概率知识的人，做一个
随时晴的预报，准确率高达90%。从这一角度来说，原文中的80%准确度，多半不
指以小时为基础的预报准确度。

　　再次感谢Woot网友当我的概率论老师，帮着出了两套家庭作业。

(XYS20080730)

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