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　　数学证明和勾股定理

　　作梦的人

　　什么是数学证明？这要从古希腊说起。古希腊的数学家“坚持数学里必须用
演绎推理作为求证的唯一方法”［１］。为什么古希腊人坚持演绎的方法呢？有
各种不同的观点，其中一种认为这是出于对绝对真理的追求。使用演绎法要求总
结相关知识，归纳出公理和推理原则。这种方法在欧几里德的《几何》达到一个
顶点。现代几何课本也只不过是《几何》的一个翻版。从公理和公设（推理方法）
出发，欧几里德证明了当时所知道的几何定理。利用演绎法，几何知识的可靠性
归结到公理和推理原则的可靠性。而公理和推理原则仅有几条，直观上比较简单，
其可靠性容易保证。演绎法的根本即在于此，通过相对简单的公理和推理原则把
握复杂的现象。演绎法是数学“特有的要求”［１］。说点题外话，现代科学的
理论体系也是依循该方法建立起来的。

　　古希腊的数学一般从公元前６００年左右开始。最初，数学家和哲学家没有
严格的区分。毕达格拉斯学派活跃于公元前５８５年－公元前４００年左右。他
们是否证明了勾股定理还没有定论。有观点认为毕达格拉斯学派后期学者证明了
该定理。不管如何，古希腊人开始了数学演绎体系的构造。公元前３００年左右，
欧几里德总结前人的结果，编著了《几何》，其间有勾股定理的严格证明。欧几
里德并不是，也不可能是公理演绎体系的发明人。

　　后来的学者总觉得《几何》的最后一条平行公理更像定理，试图通过前４条
公理证明。这里有一段历史公案。证明的方法有一种是反证法。很自然的，有人
想反设平行公理来推导矛盾。但是从来没有人成功过。那么，有没有可能，平行
公理的否定和其他４条公理是无矛盾的呢？这个想法直接导致了非欧几何的产生。
研究结果是非欧几何无矛盾当且仅当欧式几何无矛盾。沿着这个思路，产生了数
学基础的研究，即研究数学系统本身的可靠性。一些重要结果包括：欧式几何的
可靠性依赖于实数系统的可靠性，实数系统又依赖于自然数系统，自然数系统依
赖于集合论。然而恰恰是集合论出现了悖论，这是数学史上的第三次“危机”。
此次“危机”促进了数学基础研究的大发展。所以才有希尔伯特的几何的严格化。
计算机的发明也可以说是这次“危机”研究的一个直接成果。

　　另一方面，数学知识的发现并不依赖于公理演绎方法。人们在劳动实践中，
很自然的会发现一些数学现象。个人认为劳动实践是推动数学发展的主要动力。
但是，没有公理演绎体系，数学就不是数学了，更没有数学意义上的证明。

　　中国古代的数学知识没有公理演绎体系，这是不能否认的。在这个意义上，
赵爽的证明不是数学证明。

　　［１］古今数学思想，第一册５４页，

(XYS20050413)

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