◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.freedns.us)◇◇

　　再聊爱因斯坦勾股定理证明

　　黎日工

　　关于东郭先生的一段话：

　　“假设直角三角形三条边为a，b, c。从直角顶点出发到斜边c做垂直的线，
交斜边于一点D。假设原三角形面积为E。根据相对论，E＝mc^2。同理，内部分
割出来的两个小三角形的面积分别是E(a)=ma^2，E(b)=mb^2。因为内部两个小三
角形拼成原三角形。所以E＝E(a)＋E(b)，也就是mc^2=ma^2＋mb^2。两边约掉m，
就得到了勾股定理c^2=a^2＋b^2。”

　　引发很多议论。原因大概出在“根据相对论”五个字上，这可以看作一个玩
笑，但更多的是幽默。大家知道爱因斯坦曾幽默地用女孩与火炉比方相对论，相
比之下，这里的幽默似乎更有根据一些。因为直角三角形弦边与光速通常的记号
都为c；E是能量，但德文平面一词也可用E开头，这就有点双关之义了；m在物理
中表质量，在数学中常表系数；这么几点合起来，如果爱因斯坦说“根据相对
论”，确实很幽默。当然，幽默这事各人胃口不同，不可强求，有人提意见是很
正常的。

　　关键是在这番话中，清楚交代了“假设原三角形面积为E”及“两个小三角
形的面积分别是E(a)=ma^2，E(b)=mb^2”，从数学上来讲，问题叙述已经完整了。
如果面对数学家，爱因斯坦这么一说，就象赵爽或婆什迦罗把他们的图这么一展
现，他们就明白了。由于数学形式中已隐含相似形面积关系，熟悉的人一看便知。
我们都是偶尔碰碰数学的人，乍一看就有点丈二和尚摸不着头脑。笔者也是如此，
动手之后才搞懂其中道理。

　　今天看到匡耀球先生“也谈爱因斯坦对勾股定理的证明”一文，他的证明当
然是对的，但不是爱因斯坦证明的思路。数学上所谓不同的证明方法，主要是指
证明思路、证明方法不同。笔者目前工作在外，手边没有资料，现仅从网上查到
香港梁子傑先生一篇报告“勾股定理證明評鑑”，介绍勾股定理常见的七种证法，
大家可以参考一下。从这篇报告中，我们不但可以找到与匡先生思路相同的证法，
使笔者大感意外的是，爱因斯坦证法也罗列其中。

　　报告中列在第一位的是欧几里德“风车”证法。第二种是赵爽证法。第三到
第五，都是图形证法，有一图出自美国总统之手！第六种是相似形证法，匡先生
证法即属此类。最后第七种，作者说“七个证明之中，我认为这一个的布局最为
巧妙，所用的数学技巧亦精彩。可惜对一个初中学生而言，这个证明就比较难掌
握了”，这个证明的思路与方法正与爱因斯坦的一致。如果用话语描述：沿直角
三角形三条边向外作相似形，什么样子都行，半圆、正方形、凹凸起伏的怪形…，
因为相似，故三者面积之比为三边平方之比；接着取特别的一种图形即原直角三
角形、勾边直角三角形及股边直角三角形，于是就归结到爱因斯坦的证法了！

　　笔者写“关于爱因斯坦勾股定理证明”一文，本意是找出爱因斯坦证明的深
层出发点，写完后总覚得可能理解得过于复杂了。现在看到上述第七种证法，梁
子傑先生也没有多加解释，对于一般情形而言，笔者的说明就并非多余。如果你
能讲一个更简单的说明，笔者愿闻其详。写到这里，要特别提到一个漂亮的结果，
梁子傑先生指出第七种证法可能与它有关。原来在歐几里德《几何原本》的第六
卷命題31写道（引自梁子傑先生报告）：

　　“在直角三角形中，对直角的边（即弦边）上所作的图形等于夾直角边邊
（即勾边股边）上所作与前图相似且有相似位置的二圖形之和”

　　换句话说，弦边图形面积等于勾边图形与股边图形面积之和！从勾股定理及
相似形面积关系即可推出此一结果，它可以看作是欧几里德“风车”图形关系的
推广。有一个问题，梁子傑先生也不知道第七种证法的来历，东郭先生能否提供
更确切的资料？

　　对于爱因斯坦证法，因为只涉及三个相似直角三角形，到是可以用更简单的
办法解释它。因为：

　　勾边直角三角形，股边直角三角形及弦边直角三角形相似(勾，股，弦为对
应的“弦边”)；勾边三角形面积加股边三角形面积等于弦边三角形面积。

　　每个直角三角形面积为：

　　(弦边高x弦边)/2 = (1/2)(弦边高/弦边)x弦边平方

　　因为相似的关系，所以三个三角形对应的比值(弦边高/弦边)相等，记
(1/2)(弦边高/弦边)为m。

　　于是，

　　勾边三角形面积 = m乘勾边平方，
　　股边三角形面积 = m乘股边平方，
　　弦边三角形面积 = m乘弦边平方，

　　从而有，

　　m乘勾边平方 + m乘股边平方 = m乘弦边平方

　　消去m，即得勾股定理。

　　(2005年4月29日)

(XYS20050429)

◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.freedns.us)◇◇