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　　从赵爽、欧几里德谈到当今的实验数学流派

　　作者：abada

　　我与黎日工先生探讨“赵爽的勾股定理的证明”是否是严格的现代意义上的
证明的问题，若继续探讨的话，甚至可以深入到涉及不同的数学哲学的争论。

　　我的《赵爽“证明”勾股定理与欧几里德的证明不能相提并论》一文里，是
在形式主义数学的角度，认为欧几里德的证明的最大价值意义，并非是证明了若
干定理本身，而是建立了其他许多古代数学家所没有建立的公理化演绎形式体系。
而这个公理化演绎形式体系的益处后来是很明显的，比如，导致后来数学家对欧
氏公理的独立性、无矛盾性、完备性等的探讨；导致了非欧几何对欧氏几何的突
破（建立在对其中的独立的平行公理的怀疑上）；导致牛顿本人的力学的形式化
演绎系统；等等。

　　而诸如中国古代赵爽的证明方法，就没有追究深层次的公理依据，没有象欧
几里德那样有意识地建立公理化的逻辑演绎系统（欧氏本人的公理化是否严格是
另外的问题），没有有意识地从基本的公理开始，有系统、有步骤地严谨地证明
定理。所以，按中国古代数学的发展方向，就未必能象欧几里德《几何原本》那
样能导致后世更多更大的数学、科学成果。

　　所以，人类发现勾股定理可能有一定的必然性，但人类产生公理化逻辑演绎
体系却可能是非常偶然的事情。

　　(欧氏自己的“风车”证明过程，比后世绝大多数证明都复杂而且不直观。
不是欧氏不知道“简单”的证明，而是他选择了一个严密到只使用他自己已经推
出来的定理的证明。)

　　数学证明的严谨，不仅要象黎日工先生说的那样满足“无错误、无矛盾”，
还要满足“无漏洞”。历史经验也表明，依赖图形直觉的一些几何“证明”，常
常导致似是而非的谬论。

　　不过话说到这里，我还是停在形式主义数学哲学的角度。

　　话又说回来了，其实，自从希尔伯特的数学全面形式主义公理化运动的失败、
特别是哥德尔证明了“不完备性定理”以来，形式主义以外的其他数学哲学，开
始了对形式主义数学哲学的挑战。比如当今出现的一个有争议的新的数学流派，
实验数学，就有着同欧几里德范式完全不同的哲学，这种数学哲学试图挑战统治
人类数学23 个世纪之久的欧几里德范式。

　　举个不一定恰当的例子来简单说明一下。比如，若按照实验数学，“证明”
勾股定理，可以不用公理演绎推理的方式完成，而是去用计算机做大量验证，以
求得概率性的基本正确性。例如，设计某种程序，靠计算机去自行创制各种各样
形状和大小的直角三角形，然后由计算机去测量三角形的各边长，验证勾股定理
是否成立。随着验证肯定的概率的增加，定理成立的概率就越大。

　　若按欧几里德范式的传统数学观念，实验数学对“定理”的大量验证，也只
是归纳出的“猜想”，并不是真正的“定理”和“证明”。但实验数学家们的哲
学并不这么认为。他们的理由是：

　　1）传统的证明就未必可靠，得出的就未必是绝对真理。传统证明逻辑再严
谨也可能有不为人察觉的漏洞，即使没有逻辑漏洞，公理本身就不是绝对的而是
可以被怀疑的。

　　2）数学定理，归根到底是为了有用，为了人类的实际利益，所以很多情况
下，没有必要投入大量精力（人力和财力）去做传统的“严格证明”。

　　3）存在不可能用传统方法证明的定理（根据哥德尔不完备性定理），或传
统证明的复杂指数超过了人类或宇宙的极限。

　　实验数学要求数学家们大胆猜想一些似乎有用的定理，然后发动实验数学家、
爱好者们设计程序，用计算机做大量验证工作(甚至归纳、猜想的工作也交给计
算机去做 )，如果定理概率意义上基本成立，就断定这是一个在某种可靠性程度
下成立的数学定理。这样的定理系统的逻辑推出的子定理可靠性会降低，但还可
以进一步靠计算机去验证。所以，办法虽然笨（就是试、试、试），但如今有了
运算速度越来越快的计算机的辅助，于是有时也就有不可替代的优点---本来，
欧几里德传统的形式系统化的一大价值在于思维的简洁经济和可靠，而遇到有些
实际问题，未必就比得上不断地实验更经济和可靠。

　　从哲学上说，传统数学哲学上是属于欧陆理性主义的；而实验数学的哲学是
属于英美经验主义的，实际上也与中国古代的一些数学方法联系起来了。真是有
三百年河东，三百年河西的感觉。 

(XYS20050413)

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