◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.dyndns.info)◇◇ 对黎日工《也谈哥德尔定理》一文的几点评论 一木 黎日工同志的文章对那些对哥德尔定理有严重误解，尤其是那些有望文生义倾向的人应该有 很大帮助。这里我只想就文中提到的一些问题作简单的评论。 [数学家在1936年及1963年分别证明，在集合论公理体系中我们的确既不能证实又不能证 伪这个“连续性假设”！] 哥德尔在1939年证明了（事实上是发表了）"连续性假设"和所谓的“选择公理”与集 合论ZFC公理体系是和谐的（consistent）。这意思是这些命题放在一起不会导致矛盾，即不 会同时导出甲和非甲。Paul Cohen在1963年发明了一种方法“力破法”（forcing），从而证 明了"连续性假设"和“选择公理”的否命题也与ZFC公理体系是和谐的。因此我们说"连续 性假设"和“选择公理”是独立于ZFC公理体系的。（Paul Cohen因此得了fields medal！因 为这解决了Hilbert的23个问题中的第一个。）在这以后“力破法”得到了巨大的发展，一 大堆所谓独立于ZFC公理体系的命题出现了，涉及数学的各个领域。这些结果的意义在于， 因为人们“相信”99%的数学可以在ZFC中表达，因此不能被ZFC证明或证伪也就意味着 不能被“数学”证明或证伪。 但是需要注意的是“证明”和“证伪”这两个概念在逻辑上与“真”和“假”是不同的。 若想知道一个命题是“真”还是“假”你需要先确定这是对哪一个“模型”（通俗地说，哪 一个世界）而言的。如果对任何模型而言一个使用一阶逻辑的命题都是“真”，则它可在一 阶逻辑中被证明。这就是哥德尔的“一阶逻辑完备性定理”的实质性内容了。对于"连续性 假设"，当代集合论研究有两个主要倾向。一是认为正如几何学一样，不存在一个标准的集 合论，对于所有“有趣”的集合论我们都应一视同仁。另一观点认为，正如数论有一个绝对 的模型（即自然数系统），在这一模型中任何命题都是非真即假，集合论也有一个绝对的模 型，即V，在其中也是任何命题都是非真即假，包括 “连续性假设”（哥德尔本人的观点与此 接近）。所以现在的问题是：V认为开区间（0，1）中的点有多少？Berkeley的Hugh Woodin 是这一领域的领军人，经过20年上千页的论文之后（这是“文化性的”探讨所无法比拟的）， 他这一派的人“猜测”至少V认为“连续性假设”是错的。 [至于哥德巴赫猜想是否同样不可判定，尚无定论。] 很多“主流”数学家认为集合论中的独立命题人工斧凿的痕迹太重，不“自然”，正如 哥德尔的“不完备性定理”的证明中所使用的“哥德尔句”一样，尽管事实上“力破法”已 经证明了很多“自然”地产生的数学命题的独立性。（有甚者认为凡是能被证明为独立的命 题都是不“自然”的，我们没法跟这些人讲理。）但是所有人都认为数论中一些长时间悬而 未决的猜想是再自然不过的数学命题了。因此如果能在ZFC中证明一个这样的猜想的独立 性，这将会对我们的数学知识产生革命性的影响。我个人认为我们离这一目标还很遥远。但 是不难推论出哥德巴赫猜想不会被证明为是独立于ZFC的。理由如下。 哥德巴赫猜想说如下的命题在自然数中为真： （*）任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。 假设我们现在能证明（*）是独立于ZFC的。所以在ZFC中不存在对（*）的否命题的证明， 即： （**）存在这样一个大于2的偶数n：n不是两个素数的和。 注意，对于任一给定的自然数n，要么ZFC证明n是两个素数之和，要么ZFC证明n不是 两个素数之和（最简单的办法是把小于n的数都试一遍）。但是既然ZFC不能证明（**）， 对于任一给定的大于2的偶数n，ZFC证明n是两个素数之和。所以ZFC证明（*），矛盾！ 换句话说，如果你能证明ZFC不能证明（**），那你就已经证明了哥德巴赫猜想！ 从上面这一小段论证不难看出所有与哥德巴赫猜想“复杂”性一样的命题都不能被证明 为独立于ZFC。在逻辑学上我们管它们叫“Pi_1”（希腊字母Pi）。（具体定义有一定的技术 性，不宜在此讨论）。因此我们的希望寄托在所谓的“Pi_2”命题上。其中一个有名的是孪 生素数猜想（The twin prime conjecture）： （***）对于所有的自然数n，存在自然数m，m+1：m > n 而且m，m+1都是素数。 [关于哥德尔定理的具体内容，如果你有兴趣及耐心，可以找一本简明的书直接看一下他的证明。] 我推荐Haim Gaifman教授写给哲学家们的一篇小文章《What Godel's Incompleteness Result Does and Does Not Show》。在这里：http://www.columbia.edu/~hg17/。基本想法就这样 简单，希望“文化人”能抽空看看。 [从以上的简单介绍中，我们看到哥德尔定理是从算术公理出发进行推理的， 所谓哥德尔数更利用了数的许多性质。"哥德尔定理"既叫"定理"也有"证 明"，它的每一步推理都有根据，这些"根据"归根究底当然都来自公理体系。 也正因为它在算术公理体系内推理，发现了体系内的问题，它的结论才对算术体 系有意义。如果站在算术体系之外，你按你的根据，我按我的根据，还有什么意 义呢？] 哥德尔的论文中（1931年）说他用的是罗素和怀特海在《数学原理》中的体系。事实 上很多更弱的体系都能胜任。最简单的是二阶算术系统。 [哥德尔定理的意义之一在于，那种希望把数学公理体系搞成一个形式化系统、 希望所有的"猜想"、"自来腔"都能从公理出发加以判定、希望不发生"出乎 始料"的事；是不可能实现的。] 用更平白的话说，哥德尔的不完备性定理说任何一个能“处理”（例如用哥德尔数来编 码）自己的语法的形式系统都注定是不完备的。伟大的Hilbert花了好多精力来思考整个数 学是否可以被形式化，他的计划实质上被哥德尔的不完备性定理终结了。 一个最常见的对哥德尔的不完备性定理的误解是它证明了人工智能是不可能的。这是完 全错误的。哥德尔的不完备性定理顶多说明了如果存在人工智能，那么我们人无法了解它的 原理是什么。 (XYS20050613) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.dyndns.info)◇◇