◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.dropin.org)(xys-reader.org)◇◇ 课堂上的爱国主义教育——二项式定理 作者:个子   先来个脑筋急转弯:说战胜了两个世界冠军的人是不是世界冠军?答案在本 文内寻找。   二项式定理在高中阶段一般指的是两项和的n次方展开(就是问(a+b)的n次 方等于多少),定理就是给出了一个公式,公式右边的每一项的次数都是n次, 所以公式的实质就是确定每一项的系数。当这个n比较小的时候可以耐心地根据 多项式的乘法逐步展开,但是n的值比较大的时候,比如10或者 20,就不能还靠 老办法一步一步机械地去乘了,有公式可以解决这个问题吗?我想历史上这样想 的人很多,成功解决的非常少。   历史上的一个时期,二项系数多用数表的形式给出。   仔细看看,表格的规律一点都不复杂,除了边上的1以外,中间的任何数都 是它上面相邻两个数的和。制成这样数表,无论给出多少层都不能得到一般公式。 所以,给出一般公式才能称为某某某二项式定理。中学数学教科书把这个数表称 为杨辉三角(不限于7层)。后来仔细一看杨辉的书上说是贾宪用过的,说应该 叫贾宪三角,决定了我们发现有七层的三角数表不晚于11世纪。说比欧洲早500 年左右。就是不考虑中国人好古,喜欢把什么事情都说成“古已有之”,我们接 受杨辉说的,“贾宪已经在用了”。我们一起大概回顾一下二项是定理的发展: 二项是定理史略: 时间 人物(著作) 最高展开次数 备注 公元3世纪 欧几里德 2 几何方法 1世纪 《九章算术》 3 不详 11世纪中 贾宪 6 数表形式 13世纪 约丹努斯 11 数表形式 14世纪 朱世杰 8 数表形式 1654年 帕斯卡 任何自然数 公式 1665年 牛顿 任何有理数 公式 1742年 卡斯蒂隆 任何自然数 给出证明 1773年 欧拉 任何实数 公式证明 约1829年 阿贝尔 任何复数 公式证明   住:1)13世纪后欧洲在二项是方面一直在缓慢进步,没有停止,做出工 作的数学家有十多个,只取5个有代表性的人物。     2)第一个“给出证明”前都没有证明。   史略完了,先说命名问题,7层数表可以称为贾宪三角(间接证据,不很理 直气壮);12层约丹努斯三角(证据也不是很确切);9层朱世杰三角;n层 帕斯卡三角。关键是后面二项式定理横空出世,你还好意思念念不忘什么什么三 角?自然数次方展开公式称为帕斯卡二项式定理,有理数次方的——牛顿二项式 定理,实数次方——欧拉二项式定理,终极定理,你知道的什么数都可以的,阿 贝尔二项式定理。   怎么也看不出来500年是怎么领先的。   而且贾宪的6次和欧洲约丹努斯的差别应小于150年,因为你不能拿你的 6次和别人的11次比。当然你可以说你战胜了刘翔和聂卫平——和聂卫平赛1 10米跨栏,和刘翔赛的围棋。 (XYS20080424) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.dropin.org)(xys-reader.org)◇◇