◇◇新语丝(www.xys.org)(xys3.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys2.dropin.org)◇◇   有批评才能有学术进步   ——答谢网友对《逻辑思维的登峰造极》一文的关注   作者:常春藤   我必须感谢杨树森,找错,pchu,太极螳螂等诸位网友对敝文<逻辑思维的登峰 造极—康托关于无限的理论>(XYS20090129)(下称<逻辑思维>)的关注,我也看到 了田野网友在別的网站对敝文写的评论,他们的关注和评论充满平等交流的气氛, 犹如让我回到半个世纪前同一群痴迷于康托无限理论的好友无拘无束交流的学生 时代.   杨树森网友著文<概念明确、推理合乎逻辑是科学思维的重要特 征>(XYS20090131)肯定了敝文<逻辑思维>中最后一段”任何有生命力的学说,离 不开概念的准确和推理的精确”的见解,并发表相应的议论,他所作的肯定和发挥 的议论让我得到鼓舞.我在<逻辑思维>中把我对康托的无限理论的理解写出来同 哲学界,逻辑学界和数学界朋友网上交流,就是受他提出的”自然辩证法能指导科 学研究吗”网上讨论的启发.杨网友是这次网上讨论中敢于真名实姓地对自然辩 证法是否能指导科学研究持否定立场的一位,我钦佩他的勇敢和真诚,并由此形成 对恩格斯<自然辩证法>盛极一时后终于退出中国大学讲坛的理解:”概念模糊不清, 命题模棱两可的学说,可以用学术之外的力量盛极一时,最后终究无法逃脱沦为时 代弃儿的结局”.我更欣赏他在评论敝文<逻辑思维>时把”概念的准确和推理的 精确”用来审视社会科学的现状,其实一门认真的学问,不论属于自然科学还是社 会科学,治理学精神应该是完全一致的.   太极螳螂网友从专业角度对敝文提出了专业用语更严谨一些的批评,所举例 子对我有启发.   田野网友一定知道我对辩证法持不敬的态度,但他也在为我那篇<逻辑思维> 花工夫,此番真诚正应了”君子论友以道”的古训;   pchu网友则从专业角度对敝文全面评阅.我俩素昧平生,但为了寻求真知,他 不计回报的花工夫,让我感动.他的意见很多我是赞同的,其中有几个问题我非常 乐于同他作进一步探讨,相信也会有助关心<逻辑思维>的网友们对康托无限理论 进一步兴趣.   1. Pchu网友提出:“我要(对<逻辑思维>)补充的是,无限还可以作为一个 相对实在的数出现,…”. 这意见是对的,当时我碍于篇幅,同时对网友们是否欢 迎”论无限”这样的刻板的题材心里没底,就没想扩大讨论范围,其实对pchu网友 提出的问题当时就应该作基本介绍的,在此补上.   Pchu网友说的”相对实在的数”就是康托提出的超限数(Transfinite Number),康托为此建立了一整套理论.敝文<逻辑思维>中有这么一段话:”下面不 加证明的介绍无限集合的第三个基本问题,它是一个很大的题目,它的解决高度抽 象,但它让无限作为一个整体完全暴露在人类思维的视野之中”.其中所说的”是 一个很大的题目”指的就是”超限数理论”,它最后落实到敝文<逻辑思维>中介 绍的Cantor定理:” 存在并可以构造无限集合的序列 A_0, A_1, A_2, A_3,…, A_i, A_(i+1),它们的势是递增的,且相邻两个无限集合之间不存在其它本质不同 的无限集”(Cantor, 1883).   现在简略地介绍什么是超限数和它的最基本定理.   一个有序的,且任何一截(Sector)都有首元素的无限序列称之为良序列或端 正序列(Well Ordered Set),例如A = {1,2,3,…, n, n+1, …}, B = {1,2,3,…, n, n+1,…; 1,2},都是端正集合,但{……, n+1, n, …, 3,2,1}就不是端正序列. 今用一个特殊记号omega给端正序列配上一个”数”,记为0{…}:   0{1,2,3,…,n,n+1, …} = omega, (希腊字母,相当于英语字母小写的w)   0{1,2,3,…,n,n+1, …; 1} = omega +1,   0{1,2,3,…,n,n+1, …; 1,2} = omega +2,   …………   0{1,2,3,…,n,n+1, …;1,2,3,…,n, n+1, ….} = 2omega;   0{1,2,…,n, …;1,2,...,n, ….;1,2,…,n,…; 不停地作,} = (omega)X(omega)   = (omega)^2   …………   这些”数”就称为它们所依附的端正集合的序数,特称为超限数.显然由上面 的方法做下去可以得到超限数omega的多项式:   a_k(omega)^k + a_(k-1)(omega)^(k-1)+ … + a_1(omega) + a_0,   (a_0, a_1, …, a_k 都是整数, k=1,2,3,…),   它们也都是超限数.   有意思的是这些超限数所代表的端正集合的势都是aleph_0,即全体正整数的 势,但若到此为止就无任何新意.然而康托证明了一个震撼数学界的定理:   记由所有势为aleph_0的端正集合的超限数构成的集合(记为W_1,注意:大写 的W)的势为aleph_1,则成立aleph_1 > aleph_0, 并且不存在其它介于其间的势. 换言之,所有势为aleph_0的端正集合的超限数构成的集合W_1是刚好比全体整数 构成的集合Z= {1,2,3,…}大的无限集合.   这是相当了不起的成就,让人们对无限的认识走上”精密化”的路.接着康托 用相似的思路构造了其势恰大于aleph_1的无限端正集合的序数的集合,记其势为 aleph_2, 如此一直下去,就是敝文<逻辑思维>中提到的定理(Cantor, 1883):   存在并可以构造无限集合的序列 A_1, A_2, …, A_i, A_(i+1), 它们的势 是递增的,且相邻两个无限集合之间不存在其它本质不同的无限集.   这个定理把无限世界彻底扫荡了一番,但中间证明过程这里无法写出,感兴趣 的网友可以去看已故陈建功院士的<实函数论>(科学出版社,1979)中关于集合论 的一章.那本书九十年代我离开上海时,书店里还在卖,但不知道现在是否有卖?   2. Pchu网友对敝文所介绍的Cantor定理”导来集合的势大于原始集合的势” 提供了他的证明,把康托的对角线方法从原始集合为可列集合的情况直接推广到 任意的无限集合.这个想法很好,但我必须指出.pchu网友证明过程需要补上一个 很强的,无法回避的一个定理:”任何无限集合都可以重新排序而成为端正集合” (Zermelo, 1904).例如[0,1]中的有理数,若依照大小排列,由于稠密,它不是端正 序列,但依照解初等代数知识,可以把它排列成良序集合;[0,1]中全体实数,按自 然的大小排列也不是良序集合,它可以排成良序集合,但绝对不能如有理数集合那 样能用初等办法排成良序集合,只能采用Zermelo提供的,基础于承认选择公理的 排序方法完成.   回头考察pchu提供的证明,实际上已经用了重新排序的Zermelo定理,不然无 论如何构造不出”对角线”上的”0,1”序列.(无法想象[0,1]中全体实数依它们 自然顺序--即以大小为序赋以一个0,1序列,因为任何一个0,1之间,都会因出现无 穷多个0,1而被否定, 但Cantor在证明[0,1]点集不能同Z = {1,2,3,…}等势时,Z 天生的就是一个良序集合. 因而证明畅行无阻.   因之我对pchu提供的证明的意见是:”在pchu的证明中,若把原始集合E和它 的导来集合F分别良序化,再把证明过程修饰一番,可以通过,否则通不过”.   事实上把[0,1]中每一个实数用二进制小数表示时,就相当于完成Z={1,2,3,… n,…}的一个位置选择,(例如0.10011001011…,就相当于取Z中整数的第 1,4,5,8,10,11…位置的元素),因而[0,1]全体实数就代表了Z中全体元素所有可 能方式组成的子集合全体,换言之,全体实数就是Z的导来集合,因而康托用对角线 方法证明的”全体实数不能同全体整数一一对应”就等价于在原始集合为Z的情 况下,证明了它不能同导来集合相对应.(请对照敝文<逻辑思维>中在证明了导来 集合定理后的一句附注: ”细心的读者可发现前面一个定理是后面定理的特例”). 而作为对角线方法的发明人康托,在完成[0,1]上全体的点不能同全体整数建立一 一对应后,立即会想到把这个对角线方法推广到”任意集合不能同他的导来集合 一一对应”,但以他的严密思考,肯定会发觉了这需要一个强的定理支持,这样的 定理他还没有创造出来(实际上他也想到了建立任何无限集合都可以被端正化的 问题),只得另辟蹊径,创造新的,巧妙的,把矛盾驱赶进”理发师悖论”(参见pchu 文章)的绝境中而结束证明.   从历史来看,Zermelo提出排序定理在1904年,而Cantor 证明在1883年,整整 早了20年,他不用良序化手段,而能证明这个定理,也说明康托的逻辑推理能力非 凡的强大.   3. Pchu网友评论<逻辑思维>最后一段中的一句话:”数学把"无限"的概念 变得实在”,他认为这说法有点过头.这意见有道理.我那篇文章中那句话想说的 意思是:”有了康托理论,人类对无限有了可操作的评判手段”,倒也不是指它就 可以象有限数那样一件件的放在面前那样的实在,但我找不到恰当的表述.此外, 他提出”使用自然语言和模糊的概念有时可以突出概念背后的逻辑关系和(证明 命题时的)正确的推理顺序”,也有道理,涉及无限的讨论,的确不必张口”导来 集合”,闭口”超限集合”,自然语言简洁了当,只要求精炼准确就是了,没有必要 时就不必扯及康托,正如日常谈话中提到美国旧金山,不必把它说成圣-佛兰西斯 科(San Francisco)一样的追求严格,那只会令听的人感到别扭.一句话,哲学思维, 逻辑思维中,自然语言是大有可为的,前提是对现代科学有一定的了解,不要模棱 两可,停留在恩格斯<自然辩证法>水平,或者<黄帝内经>水平就不应该了.   对Pchu网友的评论的回答就到这里.   无论如何,同哲学,逻辑学,以及数学界的网友讨论康托的无限理论是一项有 意义的劳动,敝文<逻辑思维>也多少值得花一点时间阅读,引出批评和讨论也是很 有意义的,但今天在网上讨论康托理论,更希望能在人文精神意义上有所启迪:康 托为创立无限理论,终生受尽打击,但他坚持不屈,即使神经错乱,但清醒时始终坚 持心中的真理: “我的理论坚如磐石,每一枚射向它的箭都将回敬给那些发箭的 人”(1888年6月致赫曼的信),终究由”概念的准确,推理的严密”,让他的”无限 理论”杀出重围,流芳百世,而一些”概念模糊不清,命题模棱两可,解释因人而异” 的学说,只准捍卫,不准批评的学说,可以依托其它非学术的力量而盛极一时,但终 究无法摆脱时代弃儿的结局.这规律,古今中外,概莫能外”.   (2009,02,12.于漫天大雪之夜) (XYS20090203) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys3.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys2.dropin.org)◇◇