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康德的五指

作者：景新

    分析命题和综合命题的划分，在康德之前就已经有了。

    举例来说，“曲面是弯曲的。”“直线不是直的。”这是分析命题，前者正
确，后者错误。“兔子有两只耳朵。”“驴有五条腿。”这是综合命题，前者正
确，后者错误。

    分析命题可以说是由分析主语就可以得到谓语的命题。分析命题并没告诉我
们什么新的东西，比如我说“F是F”，“K不是K”，听的人还是不知道F和K是什
么。综合命题就不是这样，它告诉了我们一些东西，比如我说“兔子有四条腿”，
对没见过也没听说过兔子的人，他就知道了一点新的东西。

    而且，要判断一个分析命题正确与否其实也不必知道命题的内容，“F是F”，
“K不是K”，我们并不知道这两句话实际在说什么，但前者必然是对的，而后者
肯定是错的。

    而对一个综合命题正确与否的判断，在康德之前，休谟认为是依靠经验（不
是“从多次实践中得到的知识或技能”，而是“人的亲身经历”）。不看一看，
你不会真正知道兔子有几只耳朵，不听一听，你不知道钢琴和鼓的声音有什么不
同。相反，分析命题是不依靠经验的，也就是先验的。

    康德提出了新的观点：有的综合命题是先验的。他的论证当中，最“有说服
力”的，就是关于数学的部分。他举7+5=12为例，他认为，分析7和5，我们并不
能得到12，就算分析“加”的概念，也不行，因为“加”只是告诉我们把两个数
合在一起，我们并不能因此知道和是多少。只有我们拿一个直观的“5”， 比如
我们的 5个手指，把它们一个一个地加到7 上去，我们才能够得到12。因此7+5=
12不是分析命题，而是综合命题。

    它是综合命题，但它的正确，却不是依靠经验的。你可能会说，刚才用五个
手指加到七上去不正是靠的经验吗？那么，其他的呢？如果你有两箱苹果，每箱
三十个，那么你一共有六十个苹果，你会把它们放在一起重新数一遍吗？就算这
个你真的会去数，那么，一万加一万等于两万呢，一亿加一亿等于两亿呢？你都
会去数吗？其实，万有引力定律可以错，1+1=2 却不会错。按“先验”一词在那
个时候的用法，加法的正确性我们的确是先验知道的。

    康德就这样论证了数学是先验综合命题（当然上面的后一半论证其实是我按
自己的理解做的，相信符合康德的想法）。不过这种论证其实是错的，加法实际
上是分析命题。我用集合的方法来说明。

    比如集合P={a，b}，集合Q={c，d}，P∪Q={a，b}∪{c，d}={a，b，c，d}，
我们再看一下，P有两个元素，Q有两个元素，P∪Q有四个元素，并且P和Q没有交
集。{a，b}∪{c，d}={a，b，c，d}不是什么综合命题， 它是由并集的定义决定
的，而这两个集合基数（即元素的个数）相加就等于并集基数，即2+2=4,这让我
有了想法。

    只要把基数重新定义一下，加法重新定义一下，加法就是分析命题了。定义
{a，b}的基数为2，并且，如果把其中的某元素更换，如b换成f，集合由{a，b}
变成{a，f}，我们仍然说基数为2。同样定义{a，b，c，d}和 {a，f，c，d}的基
数都是4。（在这种定义之下， 2和4就没有别的意思，它只代表了集合的某种状
况。）再来定义加法：如果集合P和Q没有交集，或者说P∩Q={}， 也就是说它们
的交集为空集，我们就说P的基数加Q的基数等于P∪Q的基数。

    这样，2+2=4就只不过是{a，b}∪{c，d}={a，b，c，d}的另一种说法，同样
7+5=12只是{a，b，c，d，e，f，g}∪{h,i,j,k,l}={a，b，c，d，e，f，g,h,i,
j,k,l}的另一种说法，并不是综合命题。

    上面的定义办法只能定义特例，一般的定义是这样：引入符号0，1，2，3，
4，5，……；再引入后继者的概念，用n'表示，0的后继者是1，1的后继者是2，
2的后继者是3，或者说0'是1，1'是2，2'是3，等等。这时它们还不是数。

    定义{}的基数为0；如果集合P的基数为n，并且a不是P的元素，则P∪{a}的
基数是n的后继者n'（元素a可换）。

    如，{}的基数0，{a}={}∪{a}，按前面的定义{a}的基数是0'，是1。

    {a，b}={a}∪{b}，而{a}的基数是1，按前面的定义，{a，b}的基数是1'，
是2。

    {a，b，c}={a，b}∪{c}，而{a，b}的基数是2，按前面的定义，{a，b}的基
数是2'，是3。

    而加法仍然用上面的定义：如果集合P的基数为m，Q的基数为n，并且P∩Q={}，
P∪Q的基数为r，我们就说m+n=r。

    在集合论中，P∪{}=P，那么按照前面说的加法定义，我们知道，m+0=m。

    P∪（Q∪{a}）=（P∪Q）∪{a}，同样按前面的加法定义，m+n'=(m+n)'。

    这样，我们就能够算任意集合并集的基数了。

    比如，5+0=5，5+2'=(5+2)'。

    5+3=5+2'=(5+2)'=(5+1')'=((5+1)')'=((5+0')')'=(((5+0)')')'=((5')')'
=(6')'=7'=8

    什么可以作为集合的元素，并没有要求，{a，b，c，d，e}是一个集合，{康
德的左手拇指，康德的左手食指，康德的左手中指，康德的左手无名指，康德的
左手小指}也是一个集合，正因为这样，康德才能够用他的五个手指代表5加到7
上去得到12。

    其实，这就是自然数的皮亚诺公设和加法定义。只是原来的皮亚诺公设不使
用基数概念，我初看的时候觉得严密倒是严密，但与我们的世界联系不起来，通
过上面的思考，我就把它跟现实世界联系起来了。我相信数学当中对集合基数的
严格定义并不是象我这样做的，但对我现在考虑的这个问题，这也就够了。

    单个的分析命题看起来是显然的，也没告诉我们什么东西，但一长串的分析
命题构成的推导过程，就会把我们带到一个不那么明显，甚至是令人惊叹的结论。
比如上面的运算，比如从欧氏几何公理开始，我们可以证明三角形的内角和一定
是平角。这种推理完全是不必借助经验的，完全是由看起来象废话一样的分析命
题来保证有效的。

    但这种推理只保证有效，其实是不保证正确的。由欧氏几何公理能推出三角
形内角和是平角，但却保证不了欧氏几何公理的正确。这个时候，就要求助于经
验了，只要我们遇到的三角形内角是平角，我们遇到的圆的周长c=2πr，我们就
相信欧氏几何是正确的，如果遇到了反例，就说明需要新的几何了。在爱因斯坦
的广义相对论中，就要使用不同于欧氏几何的几何，而广义相对论又受到实验的
支持，所以可以说，用欧氏几何来描述我们身处其中的空间，只是近似的，其实
是错的。

    这样，欧氏几何的公理是综合命题，而且也不是先验的，必须接受经验的检
验，而各定理则是分析命题。只要公理正确，那些定理就是正确的。实际上不存
在先验综合命题。

说明：“如果集合P和Q没有交集，或者说P∩Q={}， 我们就说P的基数加Q的基数
等于P∪Q的基数。”这个定义不是我自己想出来的，是google来的。我在三思科
学论坛上与网友讨论过加法问题，laomao贴出了康托的自然数和加法定义，用那
种方法证明了5+3=8，使我对康托的自然数定义有了进一步理解，在此感谢。

附：自然数的皮亚诺公设和加法定义（N代表自然数集）。

自然数公设
(1)0∈N；
(2)若n∈N，则恰存在一个n的后继者n'∈N；
(3)0不是任何自然数的后继者；
(4)若n'=m'，则n=m；
(5)若S是N的子集，且满足：①0∈S；②若n∈S，则n'∈S，则S=N。

加法定义
(1)对任意m∈N，m+0=m   (2)对任意m,n∈N，m+n'=(m+n)'

(XYS20090330)

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