【新语丝电子文库(www.xys.org)(www.xys2.org)】 ———————————————— 康熙皇帝与符号代数 洪万生   欧基里得(Euclid)曾说:“学习几何学没有王者之路!”。事实 上,学习代数学亦然,譬如说吧,在中国数学史上鼎鼎大名的康熙皇 帝,就在符号代数的学习过程中,表现了类似今日国中学生茫然不知 所措的模样,这个历史经验,实在很值得教学工作者参考与借镜。   这里所指的符号代数,当然是清初传教士传入中国的西方数学知 识。当时有两种西方代数传入中国,第一种被称作“借根方比例法”, 第二种则叫作“阿尔热巴拉新法”。所谓“阿尔热巴拉”,无疑是英 文algebra的音译,也曾被称作“阿尔热巴达”或“阿尔朱巴尔”(当 是法文algebre的音译)。其实,这几个名称也都曾指涉第一种,譬如 在公元1711年,康熙皇帝与直隶巡抚赵宏燮讨论数学时,就指出:   算法之理,皆出于《易经》,即西洋算法亦善,原系中国算法,   彼称为“阿尔朱巴尔”者,传自东方之谓也。   隔年梅觳成入宫肄业于畅春园的蒙养斋,负责主编《数理精蕴》 等书,康熙皇帝授以传教士传入的代数学,并且谕示:   西洋人名此书为阿尔热巴达,译言东来法也。   按此书可能是某传教士所译的《借根方算法节要》。至于在该书 中不沿袭原名而改称为“借根方法”,“乃译书者就其法而质言之也。” 换句话说,“借根方(比例)法”是一种“意译”!后来奉康熙皇帝 指示,梅觳成遂将它编入《数理精蕴》(1723)卷三十二——三十六。   然则何以algebra是一种“东来法”呢?这就必须追溯这个英文字 的语源了。原来algebra相当于拉丁文的al-jabr,出自阿拉伯数学家 阿尔花拉子模(Al-Khwarizmi, 第九世纪)的一本代数著作的书名 Hisab al-jabr w'al muqabala,原指“还原”(restoration)之意, 例如将 2x+5 = 8-3x “还原”成 5x+5 = 8。这种代数不但未涉及符 号法则(symbolism),当然也不曾引进文字系数;同时,方程式 (equation,原意是令相等之后所得到的式子)两端也像天平平衡一 样而不等于零,譬如二次方程就表示成像x^2+6x=4等等;此外,求解 程序也都以文字叙述。后来再由义大利数学家卡丹(G. Cardano, 1501-1576)全盘接收,因此,对西欧人而言才有“东来法”之说。至 于“符号代数”(symbolic algebra),则是第二种,亦即“阿尔热 巴拉新法”的主旨,源自法国数学家维达(F. Vieta, 1540-1603)著 作《解析方法入门》(Introduction to Analytic Art,1591-95)的 发明。它的特征除了代数方程的系数以文字符号表示、符号可以一如 数目演算之外,方程式任何一端可以置零,譬如 ax^2+bx+c=0;还有, 维达也特别强调代数是研究像二次方程这种“形式”(species or forms of things)的学问,而算术则完全诉诸数目(species of numbers)。   有趣的是,当时中国人为了安心学习西算,遂将“东来”解释成 来自中国,于是,梅觳成就以《测圆海镜》(元李冶撰)与《数理精 蕴》中例子,来比较“天元术”与“借根方法”,证明它们“名异而 实同”。可惜,中土“不知何故遂失其传,犹幸远人慕化,复得故物”, “东来之名”正好表示西人不忘本,如此说来,中国人怎么可以不好 好地学习西算呢。这是梅觳成为盛行于明末清初“西学中原说”所下 的最佳注脚。   如此说来,康熙皇帝不可能对一样是代数学的“阿尔热巴拉新法” 没有兴趣。问题是:何以由康熙皇帝主编的《数理精蕴》只字不提 “新法”?最主要的原因之一是:康熙皇帝无法了解符号演算的意义。 这当然也可能涉及引进者的数学素养及其数学传统。事实上,《阿尔 热巴拉新法》是法国传教士傅圣泽(Jean Francois Foucquet, 1665-1741)为了教导康熙皇帝学习“新代数”而写的。一七一一年之 后,傅圣泽应召入宫伴读西方天算。有一天,康熙想知道傅圣泽对代 数的看法,于是,傅圣泽遂趁机介绍“新代数”,并强调它比“旧” 代数更简单而且更具有一般性。其实,在《阿尔热巴拉新法》卷一第 一节中,傅圣泽即强调了“新法与旧法之所以异”:   或问:阿尔热巴拉旧法,乃最深远之法也,何为又有新法,      意必旧法犹有未善者与?   答曰:旧法未尝不善,但于通融之处,有所不及也,故又有      新法济之。   既然如此,那么二法何以区别呢?傅圣泽指出:“所以异者,因 旧法所用之记号,乃数目字样,新法所用之记号,乃可以通融之记号。” 所谓“通融记号”,即是指代数符号,“在中华可以用天干地支二十 二字以代之”。为了说明它的便利与巧妙,傅圣泽“试以一式明之。 假如有一题,凡两个数目字之平方,必包涵四件,乃每字之平方,与 两字相乘之两长方,今将十二之两数目字以发明其理。”请参阅我们 从该书所复印下来的插图及说明,即可发现傅圣泽试图利用几何意义 从(10+2)^2=100^2+2(10)(2)+2^2来“类推”(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, 此二项式被翻译成(甲+乙)(甲+乙)= 甲甲+二甲乙+乙乙(请注意 该书“加号”与“等号”与现行不同)。从教学观点来看,傅圣泽的 解释可以说是尽心尽力了,不过,对西算造诣颇深的康熙皇帝还是作 出如下的反应:     谕王道化:朕自起身以来,每日同阿哥等察《阿而热巴   拉新法》,最难明白,他说比旧法易,看来比旧法愈难,错   处易甚多,骛突处也不少……还有言者:甲乘甲、乙乘乙,   总无数目,即乘出来亦不知多少,看起来想是此人算法平平   耳。(参考《掌故丛编》二辑《清圣组谕旨二》)   在西方数学史上,符号代数在十六世纪末被发明之后,大约花了 将近一世纪的时间才逐渐被数学家广泛接受。究其原因,这些西方数 学家应该跟康熙皇帝一样,无法了解符号演算的意义。由此一历史教 训,我们或可推论:符号代数的学习需要比较成熟的数学心智,因为 即使天纵英明如康熙也表现得束手无策。所以,我们希望国中教师在 讲解一元一次方程的解法时,千万多一点耐心与包容,因为从数目演 算到符号演算这个“认知跳跃”,对贵贱贤愚显然一视同仁,都是必 须努力才能跨越的门槛! 参考文献 洪万生,“清初西方代数之输入”,收入洪万生著《孔子与数学》, 台北明文书局,1991。 洪万生,“《代数学》:中国近代第一本西方代数学译本(上)”, 《科学月刊》 第二十四卷第十二期(1993年12月),页938-945。 洪万生,“《代数学》:中国近代第一本西方代数学译本(下)”, 《科学月刊》 第二十五卷第一期(1994年1月),页59-65。 洪万生,“数学史与代数学习”,《科学月刊》第二十七卷第七期 (1996年7月),页560-567。 ———————————————— 【新语丝电子文库(www.xys.org)(www.xys2.org)】