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　　谈谈罗素悖论及公理集合论

　　timeexceed

　　因为蒋劲松最近谈起了吴国盛版的“芝诺悖论”，引来的陈祖甲老先生的几
句议论。而陈老先生的议论，又引来新语丝上更多的议论。世上的“悖论”虽然
很多，著名似乎只有这么几个，于是罗素悖论又惹上了池鱼之灾。

　　wangcf说：“数学上是存在悖论的，比如著名的‘理发师悖论’”。现代数
学上有没有悖论我不知道，毕竟我不通晓所有的数学门类。但我知道，罗素悖论
已经被现代数学排除了。阮宗光又言道：“任何公式用在自己身上就可能产生自
我矛盾”。“可能”自然是不错的，总归稍嫌粗糙。

　　理发师悖论，逻辑学里称作罗素悖论。罗素先生写过一本《数理哲学导论》，
介绍当时数学上的一些成果。书里介绍罗素悖论时用小村庄里的理发师打了个比
方，结果这个比方因为通俗（并不易懂）反倒喧宾夺主，后世许多人只知道理发
师悖论却不知道罗素悖论，更不知道罗素悖论针对的只是康托的集合论，不是现
代集合论。

　　集合论是康托最早完整提出的。但康托的集合论有一个问题：他没有严格定
义“集合”这个概念。康托说，集合就是把具有某种性质的对象都放在一起。康
托的集合论提出之后，悖论不断。康托自己就发现过一个“康托悖论”。康托悖
论的构造比较复杂，当时不少数学家认为是构造过程出了问题，直到罗素发现了
罗素悖论：

　　令X:={x是集合 | x不∈x} (X是所有不属于自身的集合的集合)。然后问：X
属于X乎？若然，则根据X的定义，X必不属于X。X不属于X乎？如此则同样根据X
的定义，X必属于X。

　　罗素悖论构造非常简单，只用“属于”关系和“把具有某种性质的对象都放
在一起”这个直观。从此数学家们明白了，康托的集合定义是错的，因为“属于”
关系必不可少。

　　为了修补康托集合论的纰漏，逻辑学家决定严格定义“集合”。他们从代数
学上借来了公理化方法。简略说来就是这样：什么是集合？满足我这几条公理的，
不管什么东西，就是集合。大家可以比对一下“群”的定义：满足群论三公理
（有些教科书上采用等价的二条公理），就是群。至于满足群论三公理的那个东
西是整数上的加法、正实数上的乘法，反倒不重要。

　　但具体采用哪些公理，数学家们忽然有了分歧。罗素悖论的核心有两个：一，
自指的概念（阮君的“公式用在自己身上”庶几近之）；二，取反（这是阮君忽
视的地方，然而他举的几个悖论或明或暗都有“取反”）。集合论的公理化同样
分作两派，好像华山派的两宗（集合论的两派自诞生之日不断互相取长补短，是
华山派的江湖豪客所比不上的）。一派将集合的概念从下往上切成一层一层的，
下层的集合只能属于上层的集合，于是自指被很仔细地剔除了。这一派的代表是
ZFC公理系，因为采用的人多，有些教科书上称之为标准系。另一派则严格地限
制“取反”的使用，有些甚至完全禁止“取反”。这一派的代表是直觉主义逻辑。
我不清楚这个名字的由来，大概是他们的“集合”的概念最接近康托原先的直觉
吧。

　　总结一下：罗素悖论只有在康托的集合论里才有。现代集合论是公理集合论，
罗素悖论被小心地排除了。

　　ps1. 如果我没记错的话（许多年前在超星上看的，现在帐号过期，无法求
证），罗素《数理哲学导论》也有关于两个芝诺悖论的分析，自然详尽得多。大
家有兴趣不妨找来一观。

　　ps2. 这方面的知识，数学系里似乎不容易学到；求教哲学系更是进错庙门
烧错香，恐怕阮君和wangcf君就是受了一些哲学家不科之普的毒害。因为学科自
身的特点和钱的关系，反倒一些搞理论计算机科学的更清楚。

(XYS20080130)

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