◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.dropin.org)(xys-reader.org)◇◇   上海交通大学科学史教授纪志刚文章之硬伤   翰林木   在天益社区看到上海交通大学科学史系纪志刚教授刊于《上海交通大学学报》 的文章《从记数法到复数域:数系理论的历史发展》 ( http://bbs.tecn.cn/viewthread.php?tid=230835 ),未及细看即注意到一 个定义:“一个数系称为是稠密的,假如任取这数系中两个数,必有第三个数介 于其间。当然,这第三个数也是属于这个数系的”。   这好像是一种日常经验的想当然引申,数学中似乎没有就这一性质给出定义, 姑且称为纪定义。而数学的稠密定义中应当含有一个比较对象:点集A本身及其 所有聚点若包含或等于点集B,则称A在B中稠密。例如区间[0,1]中的有理数虽 然符合纪定义,但数学的说法是[0,1]中的有理数在[0,1]中稠密。数学中另有 自密定义:若点集A的每个点都是聚点,则称点集A是自密的,例如区间[0,1]上 的康托集是自密的,它每个点的任何邻域中都有康托集的点。康托集当然很密, 但是不符合纪定义,例如数1/3与2/3之间就没有康托集的点。   奇怪的是康托集又是数学中的疏朗集——若集合的闭包中每个点的任何邻域 中都有该集合以外的点(即集合的闭包中无内点),则称集合是疏朗的。   设集合S由区间(0,1)与数2组成,显然是符合纪定义的,但是它看上去并 不“密”。   从稠密、自密、疏朗可见数学定义与日常经验的差距很大。   研究数学难,研究数学史应当更难,但看起来纪志刚教授不怎么懂数学。   纪志刚教授文章列有9种外文参考文献,其中至少如下4种有中译本存世20年 以上:   [1] Tobias Dantzing. Number The Language of Science. London. George Allen & Unwin Ltd. 1938   [3] Morris Kline. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, 1972.   [4] ----. Mathematics The Loss of Certainty ,Oxford University Press, 1980.   [6] R.Courant & H. Robbins. What is Mathematics, Oxford University,1978.   纪志刚教授连中文书都不屑于使用而要直接阅读原文数学经典(甚至还有 1938年版),这又作何理解?   再看看纪志刚教授对实数理论的理解:“实数域的构造成功,使得两千多年 来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平,无理数不再是“无理的数”了。” 实数理论之所以历经2000多年才得以建立,困难恰恰在于仅在有理数的基础上增 添一些什么东西不能解决问题。当整数的除法不能进行时人们引入了有理数,但 这一模式无法用于无理数的引入,所以无理数不仅不是“无理的数”而根本就不 是“数”,以至于有理数作为实数中的特例也被重新定义了。按戴德金的定义, 一个实数是“有理数”的某种集合;按康托的定义,一个实数是“有理数”的一 个柯西基本序列。   关于实数理论发展史研究的关键点,Morris Kline在《古今数学思想》中指 出“数学史上最使人惊奇的事实之一,是实数系的逻辑基础竟迟至19世纪后叶才 建立起来”(4卷41页)。还有,实数理论的建立作为20世纪数学公理化运动的 前奏之一也是数学史研究的重点。纪志刚教授文章似乎并未在乎这些问题。   纪文中有:“也正是在这一年(1872年),实数的三大派理论:戴德金“分 割”理论;康托的“基本序列”理论,以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理 论,同时在德国出现了。”   尽管文末列有16篇参考文献却未给出其出处,而更象是文学描述。查一下 Kline《古今数学思想》,对此有现成的记述:“从1859年开始的在柏林的演讲 中,外尔斯特拉斯认识到无理数理论的需要,并给出了一个理论。由Kossak出版 的《算术基本理论》声称要发表这个理论但被外尔斯特拉斯否定了”,然后 Kline依次说到法国的梅雷,德国的康托、海涅、戴德金给出的实数定义(4卷 46-47页)。纪志刚教授所谓“实数的三大派理论”之说出自于16篇参考文献的 何处?或者是纪本人的研究结论?   还有两处小错是:1、“这一年,克莱因(F.Kline,1849- 1925)提出了著 名的“埃尔朗根纲领”(Erlanger Programm)”,Kline是德国数学家Klein之 误,美国数学家Kline(1908-1992)是《古今数学思想》作者。2、“1878年, 富比尼(F.Frobenius, 1849 – 1917) 证明……”,德国数学家F.Frobenius通 译为弗罗伯尼,富比尼系指意大利数学家G.Fubini(1879-1943)。 ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.dropin.org)(xys-reader.org)◇◇