◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.freedns.us)◇◇ 读者评论高考数学错题事件(二) 重要的是建立高考纠错机制 YS 天天看这个“错题”风波,忍不住也想插点嘴. 读了杜青和天蝎的文章, 气势上 好象不强, 但是能引发一冷静的思考 (虽然我并不苟同他们的结论). 杜青说 “在中国,破坏性的意见从来不缺,缺的往往是建设性意见”。在我看来, 朱先 生正是提出建设性意见的人. 朱先生在7月23日的贴子(XYS20030731)中说 “这 个问题本来很简单,取消此题即可… … 从这一典型事例开始,在中国确立一个 明确的原则:凡高考出现错题或有争议题应立即取消此题的计分资格...” 这才 是建设性的意见, 即凡是出现错题或有争议题应立即取消此题的计分资格. 这也 是TOEFL 和 GRE 考试的惯例. 因为即便是有争议题, 也会影响考试的客观公平性. 有没有客观公平性才是我们应当多加讨论的.至今没有人认为这道题完全正确, 那么它就是有争议题. 其实朱先生也认识到“无法修改评分标准,只好检讨错误,吸取教训,防止今后 类似事件的重演了”. 杜青说”重要的一点是,我们通过这件事情要达到什么目 的或者效果?”. 本人认为, 如果这件事能导致国家教委出台一个文件,即 “今 后凡是出现错题或有争议题应立即取消此题的计分资格”, 就可说是这件事情要 达到的好的效果了. 我想, 朱先生和其他12院士先生也会乐于见到这样的结果吧. 杜青担心的 “为了所谓局部的“公正”会导致更大范围的不公正乃至混乱。” 在下不是很苟同的. 记得杜青的一些关于普法的文章, 读了很感兴趣的. ------------------- 答《杀猪和高考数学试题风波》 朱如曾 <杀猪和高考数学试题风波>(XYS20031113)认为:"点(a,b) 在 a0b 平面上的 区域 (不包含边界)为"应理解为包含关系,即: "包含点(a,b)的区域为". 因此 唯一的正确答案是选C项. 并批评笔者误将这句话理解为对等关系,才使笔者认 为C是错图.他认为,对等关系的表述应当表述为: "在 a0b 平面上包含且仅包 含(a,b) 的区域(不包含边界)为"才对.在此基础上,<杀>文提出了4种可能 性.      其实事情本来很简单,没有作者所说的多种情况.笔者看法如下: 分析题义不能离开原文: "点(a,b) 在 a0b 平面上的区域(不包含边界)为"(下称"原句") 这里,"为"字显然表示对等关系:"为"="是".点(a,b)显然表示符合条 件的所有的点."的"的含义是"所组成的".所以原句的意思是对等关系: "符合条件的点(a,b) 在 a0b 平面上所组成的区域(不包含边界)是" 很清楚,标准答案C是错误的. 那末怎样的句子才表示包含关系呢?须将原文中"为"字改为"包含于",或将 "的"字改为"所属的".于是原句改为: "点(a,b) 在 a0b 平面上的区域(不包含边界)包含于"或 "点(a,b) 在 a0b 平面上所属的区域 (不包含边界)为" 而且,对于包含关系,"(不包含边界)"的附注就是多余的了,所以原句应进一 步改为 "点(a,b) 在 a0b 平面上的区域包含于"或 "点(a,b) 在 a0b 平面上所属的区域为"    现在可以看到,<杀>文把原句解释为"包含点(a,b)的区域为",这与原 句在文字上变动太大,不是直接从原句出发的解释,而是在对原句原本清楚的含 义的一种模糊认识的基础上的一种重整化错误解释.因此,由此派生出的4种可 能性分析也就没有意义了. 其实,4个月没有结果,不是本来并不存在的"题意含糊"所致,而是态度问题, 正如南方周末所说,不是数学问题. ----------------- 豆腐干先生错得莫名其妙 作者:新语丝一读者 时间:2003年11月16日 豆腐干先生口口声声自称是"受过专业数学训练的",还提到了"美国电影中的流 氓律师",可是实际上美国电影中的律师确实是抓住了法律的漏洞(因为法律中 确实存在着漏洞),而豆先生却在推导过程中偷换了自己的概念。 解答高考题,是根本用不着,也不能用"大学本科数学专业数学分析课程考试的 标准"的,否则如何服众?还是应该以中学数学课本,以及中学教育的惯例为准 (相当于多年中学教育的默认值)。 "一个交点"就是表示"一个"交点,而绝不能理解为"两个相同的交点"。比如, 中学课本表达切线的性质时,说和某曲线"有且只有一个交点",而没有说"有两 个相同的交点"。同理,一个一次函数(斜率不为零)与x轴必有一个交点,我们 只能说有一个交点,不能说也不必说有"两个相同的交点"(不然我还可以说有" 三个相同的交点")。 "两个交点"就是表示"两个不同的交点",这一点勿需质疑。 至于豆先生的"两个交点"可以理解为"两个相同的交点",我想他和一元二次方程 "两个相同的实根"搞混了!众所周知,在实数域中一元二次方程的根的情况有: "两个不同的实根";"两个相同的实根";"没有实根"三种情况,其中"两个相同 的实根"的前提是二次项的系数不等于0!在这个前提下才可以表达成"两个相同" 这种概念,表示是由"两个不同"(实根)退化而来。如果是一次方程,本来就只 有一个根,哪来的"两个相同"呢? 最后让人莫名其妙的是,豆先生解得的结果是,"(a,b)在aOb平面上的区域是集 合I、II和III的并集合,因此,这个区域应该是:{(a,b): |b|>=2|a|}。" 这也和试题中c选项明显不符,因为豆先生的结果是包括边界的(|b|=2|a|), 而高考题上明明注明"不包含边界",不知豆先生怎样得出"为什么江苏的那道高 考数学题没有错"这个标题的? 当然,豆先生在文中最后提的几点建议还是颇有可取之处。 ----------------- 《为什么江苏的那道高考数学题没有错》的结论是错的! 作者:nj布衣 时间:2003年11月15日 “豆腐干”在《为什么江苏的那道高考数学题没有错》一文中,试图用“一个交 点”可以理解为“两个相同的交点”这样的前提证明江苏的那道高考数学题没有 错。但作者对第一种情况求出的解,却与该题标准答案C.矛盾。此时,(a,b)在aOb 平面上的区域必须包括集合I={(a,b): |b|>=2|a|且a<>0},而这个集合应包含答案 C.图形中的两条相交直线:|b|=2|a|(但去掉原点),即此答案必须包含边界。 但本题题面明确规定所有图形作为答案不包含边界。由此来看,《为什么江苏的那 道高考数学题没有错》一文的求解过程只能证明该题是错题。 受过专业数学训练的该文作者不知为什么有如此错漏? ------------- 江苏高考"错题"辩不明 新语丝一读者 首先向为捍卫真理而斗争的朱如曾教授致敬!但是朱教授在新语丝上发表的"量 子之迷的迷底"中有一段论述隐含着一个错误,其原文如下: "但是将空白部分理解为所指区域时,笔者可以证明下列第3点:   3. 选项D不是正确选项.   证明:由于A,B,C,D图中虚线均示意区域的边界,根据图示规则的一 致性要求,区域的边界均以虚线表示.由于D中b轴不是虚线,故b轴不是边界, 它只是不得不画的坐标轴而已.所以b轴属于空白所示区域的内部.故选项D不 是正确选项." 该段论述的错误在于,朱先生在潜意识中有这样的认识,一个直观的"图形",如 果定义去除边界,那么剩下的就全是所定义的区域了。 显然这是很错误的,因为很显然,一个我们直观看见的"图形"应该包括三个部分: 边界,定义的区域,非定义的区域(尽管这个非定义的区域可能在边界"内部", 就是直观看来,被边界圈在里面)。现在既然量子先生定义"空白"为所定义的区 域,那么在b轴的位置上既然有一个轴,这个位置就不是空白,也就不属于量子 先生所定义的区域。.尽管b轴不是虚线,不表示边界,但它也不是在区域内部。 可以举一个简单的例子,如果在空白的区域中间有一个"点",该点显然不是虚线, 当然也就不是边界,但是按照量子的定义,该点不属于空白区域,应该刨除。. 当然,这一部分都说的是题外话了。 从最近的许多文章来看,江苏高考"错题"是越来越不容易辩明了!关键还在于定 义的不明确! 大凡辩不明的论题有两种情况,其一是题目本身太难了,如歌德巴赫猜想;其二 是辩论双方对某些概念有不同的理解。如果个人有个人对定义的不同理解,那么 辩论本身是没有任何意义的。此道"错题"就是这种情况,我们必须仔细看看现在 的中学数学课本,如果教科书上不明确,那就要看有关权威教育部门如教育部的 解释(类似于全国人大常委会或高法对法律条文所做的司法解释)。如果这两个都 不解决问题,就要看惯例。诸如"函数的系数能否是复数"(我个人认为函数的系 数按惯例是实数,如果题目要求复数,必须明确指明),"两个交点就是表示两 个不同的交点"(我个人认为"两个"交点,就是表示两个或两个以上"不同的交点 ",中学数学没有"两个相同的交点"一说,只有两个相同的根的概念!这一点恐 怕豆腐干先生弄混了)等等,都要看最近几年中学教育的惯例。这一点,我想中 学教师和中学生是最有发言权的! ------------- 就量子之迷与朱如曾老师商榷 量子(email: forcetower@hotmail.com) 谢谢你的分析与评论。 首先,我的完整的观点是这样的: 1。此题是错题。 2。如果一定要坚持此题不是错题的话,我选D。 现在来看你的论证。你说:"由于A,B,C,D图中虚线均示意区域的边界, 根据图示规则的一 致性要求,区域的边界均以虚线表示.由于D中b轴不是虚 线,故b轴不是边界, 它只是不得不画的坐标轴而已.所以b轴属于空白所示 区域的内部.故选项D不 是正确选项." 此题虚线均示意区域的边界是一个事实,但此事实绝不等价于说不是虚线就一定 不是边界。C图之所以为错图的唯一判据在於它以同一斜率的阴影贯穿了b轴, 故C图所显示之区域已明确包含了b轴,这同时也明确显示了b轴肯定不是此图 区域的边界。C图之所以为错图与b轴以外的地方的边界采虚线画法或实线画法 没有实质性关系。 你的论证的唯一依据是图形一致性要求。你的逻辑是这样的:既然b轴以外的地 方的边界都是采虚线,按图形一致性要求,b轴若是边界则必需画虚线,若b轴 没有画虚线则一定不是边界。 图形表述一致性要求属于一种表述规范。 我以为,规范有两类,一类是影响科学内容的实质规范,比如阴影的画法。图C 正是因为违反了实质规范而导致科学内容错误。还有一类为不影响科学内容的, 只具有编辑学意义上的规范。比如X与Y之积,若在同一篇论文中多次出现,则要 么全部使用XY,要么全部使用YX。但是在只谈实质科学内容的情况时,这种编辑 学意义上的规范并不必需遵守。编辑学规范只对题意起辅助性提示作用,孤立的 编辑学规范本身不允许用来判别题意。比如说在同一篇论文里,多次用到X与Y的 乘积,编辑学规范告诉我们,在文章各个部分要么都用XY,要么都用YX,这是你 说的那个表述一致性要求。可是若我在前9章使用XY,第10章使用YX且无特别原 因,这就不符合你说的那个表述一致性要求。但这并不影响所欲表述的科学内容 之实质,任何人都不能说这是科学错误。 可是若按你的论证逻辑,则可对这篇文章作下述结论: "在此文中,所有XY符号均表示X与Y之乘积,根据符号表述规则的一 致性要求, X与Y之乘积均必需以符号XY表示。既然这样,第10章中的YX符号就一定不是X与Y 的乘积。因此此论文有严重科学错误。" 这显然同众所周知的事实矛盾。 现在回到那道考题。题干中已声明不包含边界。因此,边界的各种画法,包括虚 线,实线,点划线,黑里透红的粗线,红得发紫的细线,只要它是边界就不被包 含,即任何画法都是等价的。对任何一条边界采用任何画法都不是科学错误。如 果C图中b轴两侧之阴影线斜率不同,则表示b轴两侧是两个区域,b轴不论怎 么画,它都是边界。在这种情况下,选择对b轴边界画实线而对所以其他边界画 虚线亦无任何科学错误。 再来看以空白为所指区域的D图,由於空白没有斜率,我们无从知道b轴两侧的 空白是一个区域或两个区域,即无从知道是空白"贯穿"了b轴还是b轴分割了空 白。因此我们无从知道以空白为所指区域的D图是对还是错。这就是说,已知A, B,C肯定错,D无法知道对错,选D。注意,我并不是简单地排除3个错图,而是 做了两件事:1,A,B,C错;2,D图无法被证明是对还是错。 结论:朱老师和我从不同角度对同一问题导出矛盾答案,站在我的立场上看,根 源在于朱老师使用的一个前提:虚线皆为边界即表示非虚线就一定不是边界。这 个前提建立在图示规则的一 致性要求的基础上。而图示规则的一 致性要求是只 具编辑学意义的对科学内容没有影响的非实质性表述规范。换句话说,我选D, 只违反编辑学规范但无科学错误(就好比把XY写成YX);而教育部答案选C则违反 实质性规范,系明确的科学错误(就好比要把狗尾巴算是狗腿一样)。我以为,朱 老师说的那个"量子之迷"依然未解开,尽管这迷只是以搞笑为目的。 随便说一下,编辑学意义上的表述规范不影响科学内容之实质并不代表对此规范 完全可以弃之不理。它会影响读者阅读效率,甚至导致读者对科学内容的错误理 解。但读者理解下的科学错误同科学问题表述本身的错误是两回事。编辑学规范 之重要性随场合之不同而变化。对单纯科学场所,由於关心的重点是实质性科学 内容,此规范属弱规范。对工程制图,此规范属强规范:不遵守规范的制图可能 被判不合格。对科技编辑而言,不懂此规范就要丢饭碗。依我的理解,就高考而 言,对错的判别依据是所表述的科学内容的实质而非是否符合编辑学规范。当然, 编辑学也是科学,但不是我所说的那个科学。有点扯远了。这回可真的领教了" 学无止境"这个道理,哪怕是初等数学。 量子欢迎各路高手继续给予non-trivial 的指教。 -------------- Common sense 和严谨数学 新新 很多人说江苏考题中的答案C是错的,恐怕是根据common sense. 这个common sense 是,在中学,“满足条件的区域”一般是指这区域里所有的点都满足条件,而不 是任何能覆盖满足条件的点的区域;一条直线与x轴相交,只有一个交点,而不 是“两个相同的交点”。以这样的common sense为前提,那题为什么错已被说得 很清楚了。 Common sense 经常是不严谨的。数学讲就讲的是严谨。 点集拓扑说,题目并未限定区域是“包含且只包含” 满足条件的点,因而答案C(包括b轴)可以是正确的。我在前文(见11/14 《读者评论高考数学错题事件》)指出,用同样的逻辑, 答案A和B也可以是正确的,因为题目并为限定区域是“包含且只包含且包含全部” 满足条件的点。严谨的证明,四个答案里有三个可以是对的,但题目说只有一个。 这不是错题? 豆腐干更上一层楼。说,a=0 and b<>0 时,y=bx 与x轴必有一交点,也可以说是有“两个相同的交点”;而a=0 and b=0 时,y=0与x轴有无数交点。因为题目并未限定y=ax2+bx+a与x轴“只有”两个 “不同”的交点,因而,a=0时,该函数也满足与x轴有两个交点的条件。所以, 答案C是正确的,题目没错! 显然,a=0 and b<>0 时,y=bx 与x轴的交点可以说是,1)一个交点,2)“两个相同的交点”,3)三个相同的 交点,。。。N) N个相同的交点。哪个说法/理解不对?只能用其一而不能用其它?我说都正确。 但按照第一种理解(一个交点),答案C就是错误的。同一题目,正确但不同的 理解/说法导致截然不同的结论,那题目没错? 这题用得着数学专业训练,数学专家吗?理工大学里甚至高中里那点儿直接间接 的逻辑思维训练就足够了。严谨的数学不只是换个说法吧? (XYS20031116) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.freedns.us)◇◇