【新语丝电子文库(www.xys.org)(www.xys2.org)】 ———————————————— 《你知道吗?——现代科学中的100个问题》 I·阿西莫夫 著 暴永宁 陈养正 钟元昭 吴伯泽 译 碧海听潮声 扫 4 什么是戈德尔证明?戈德尔证明是否说明真理是不   可得知的?   从欧几里得(2200年前)以来,数学家一般都是从 某些称为“公理”的陈述出发,推导出各种有用的结论。   从某种意义上说,这几乎就像是一种必须遵守两条规则 的游戏。第一,公理应当尽量少。如果你能从某一条公理推 导出另一条公理,所么,所推导出的那条公理就不能作为公 理。第二,公理必须是没有内在矛盾的。绝不允许从某一公 理推导出两个相互矛盾的结论。   任何一本中学几何课本都要先列出一组公理:通过两点 只能作一条直线;整体等于各个部分之和,等等。在很长一 段时间内,人们都把欧几里得的公理看作是唯一可用来建立 没有内在矛盾的几何学的公理,从而把这些公理看作是“真 公理”。   但是,到了十九世纪,有人证明了欧几里得的公理是可 以用某些方式来加以改变的,因而可以建立另外一种不同的 几何学,即“非欧几里得几何学”。这两种几何学虽然各不 相同,但每一种几何学都不具有内在矛盾。从此以后,人们 如果要问哪一种几何学是真几何学,就没有意义了。如果要 问,就只能问哪一种几何学更有用些。   事实上,我们可以用许多组公理来建立几种各不相同但 又各自并不具有内在矛盾的数学体系。   在任何一种这样的数学体系中,你都必定不可能根据它 的公理推导出既是如此又非如此的结论,因为如果这样的话, 这个数学体系就不可能不具有内在矛盾,就会遭到淘汰。但 是,徜若你能作出一种陈述,并且发现你不能证明它既是如 此又非如此的话,又将怎么样呢?   假如我说:“我现在所说的是假话”。   是假话吗?如果是假话,那么,我在说假话这件事就是 假的了,因此,我必定在说真话。如果我在说真话,那么我 在说假话这件事就是真的了,因此,我确实在说假话。我可 以永无休止地来回这样说,结果,将永远无法证明我所说的 到底是如此,还是并非如此。   假如你能对这些逻辑公理进行调整,以排除上面所说的 这种可能性,那么,你能不能找到另外的方法来作出这样一 种既是如此,又非如此的说法?   1931年,一位奥地利数学家戈德尔终于提出一个有 力的证明,他指出,对于任何一组公理,你都能作出既不能 根据这些公理来证明事实确是如此,也不能根据这些公理来 证明事实确非如此的说法。从这个意义上讲,任何人都不可 能建立出一种可以凭此推导出一个完美无缺的数学体系的公 理。   这是不是意味着我们永远不可能找到“真理”呢?   第一,因为一种数学体系不完美,并不意味着它所包含 的东西是假的。如果我们不想超出这样的数学体系的限度来 应用它,它就仍然是极其有用的。   第二,戈德尔证明只适用于数学中所应用的那几种演绎 体系。但是演绎并不是发现“真理”的唯一办法。任何公理 都不能帮助我们去推导出太阳系的大小。太阳系的大小是通 过观察和测量而得出的——观测是得到“真理”的另一途径。 阿西莫夫《你知道吗?--现代科学中的一百个问题》 科学普及出版社 1984年 ———————————————— 【新语丝电子文库(www.xys.org)(www.xys2.org)】