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　　关于“考试悖论”的理解

　　Lawrence

　　这些天新语丝有不少关于考试悖论的讨论。本想秉承一贯作风继续潜水，但
有些话不吐不快。大家都有自己的解释和理解，这本是好事。但总觉得张远山先
生关于时空的讨论未免有杀鸡用牛刀之嫌（先不说这牛刀是否用对），而且容易
把一个本来简单的问题复杂化，反倒遮住我们的眼睛。后来也有网友用概率或者
信息学的方法，就更偏离“逻辑”的本意。

　　首先阐明我的观点：学生逻辑没有错误，问题在于老师的话自相矛盾。

　　一般来说，自然语言有歧义性，所以我想先把这个问题用略为形式化的语言
描述，统一认识，以免出现理解上的分歧。并且为了下文论述的方便，我把这个
描述的范围适当扩大些。根据通常的理解，老师的话可以归纳为两个条件：

　　1。考试将在未来的1，2，……，N这N天中的某一天举行；
　　2。如果考试是在第M天，则学生在第1到M-1天的任何时候都不可能知道。

　　为了证明这是个悖论，我们可以用数学归纳法证明这个命题：“第K天没有
考试，K=1,2,...”。

　　（1）首先，根据条件1，当K>N时，第K天没有考试。
　　（2）现在利用条件2使用数学归纳法。归纳假设是“考试不能在第K＋1天及
以后进行，其中1<=K<=N”。于是考试只能在1~K天中某天进行。使用学生的逻辑，
第K天是不能有考试的，否则在第K－1天放学之后就会知道第K天有考试。循环使
用这个归纳推理，即让K从N递减到0，我们就把所有可能考试的日子都排除了。

　　在以上推理的第（2）步，我们使用了“第K＋1天及以后没有考试”的归纳
假设。这一点和张远山的理解一样，我们的确是在不断的缩小可能考试的时间范
围，直至范围为零。但这并非逻辑错误，这个归纳假设是通过前面严格的反证法
排除不可能情形所得出的结论（如feelslikespring网友所指）。这正是数学归
纳法的工作方式，也是为何上面要用数学归纳法进行证明的原因——就是为了强
调这一点和说明学生推理的逻辑根源。

　　顺便讨论一下张远山原文中上帝对人哪天死的断言的悖论（下称“张悖
论”）。文中给出一个“同构”说明学生悖论的谬误。但其实这两个悖论并不
“同构”。张悖论看似和考试悖论一样，但学生的推理（亦数学归纳法）在这里
不适用。根本原因在于数学归纳法只适用于定义在良序集（well ordered set）
上的命题。简单的说，良序集是一类这样的集合：(i) 它的所有元素可以按大小
排个次序；(ii) 它的任何子集都能找到最小元素。这两个条件缺一不可：条件(i)
保证数学归纳法可以按照这个大小次序依次遍历所有元素，对应我们上面证明的
第（2）步，是个“递推步骤”；条件(ii)保证我们有个“启动情形”，对应上
面证明的第（1）步。但在张悖论里，这个启动情形恰恰缺少了——上帝没有给
出可能死亡的最后日期，所以数学归纳法在这里不适用——学生的推理没有“起
点”。

　　当然，如果上帝给出这个最后日期，那么上帝的话也同样有矛盾，于是我们
可以得到“人不会死亡”这个结论。于是张先生喊了一句“这真是一个令人兴奋
的好消息！”。其实这并没有什么让人兴奋的地方，因为上帝的存在、上帝的断
言、以及上帝说话是否严格遵守逻辑都是张悖论产生悖论的前提，而这些前提在
现实生活中并不成立。换言之，“人不会死亡”这个看似兴奋的结论只是在不可
能前提下推理得到的结论：推理是正确的，结论之荒谬是因为前提不成立。

　　基于以上这个讨论，我再说几句废话供大家讨论。本文讨论是在形式化框架
下进行的，即把所有的命题符号化，只考虑推理本身是否符合逻辑，而不加入任
何常识以排除不必要的干扰。本人觉得在严密逻辑中使用常识（还有哲学理解等
等）要特别注意，因为常识的载体通常是自然语言，而自然语言一方面会出现歧
义，另一方面在逻辑上并不一定严密或者自洽。历史上很多著名悖论的自然语言
表述乍听起来还真没觉得什么问题。类似考试悖论中老师的话在现实生活中其实
不难遇到。虽然它并不影响我们根据常识进行理解，但在逻辑意义上它却是自相
矛盾的。碰到这样的悖论，我们既可以批评逻辑老师讲话不够逻辑，也可以嘲笑
学生死脑袋的把逻辑用到自然语言交流中。 

(XYS20050418)

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