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　　关于考试与时空

　　作者： eng

　　今天看到关于考试与时空的问题，我也想说两句。

　　首先关于考试悖论：

　　张远山的结论是学生的推理有误，但是他的解释居然把时空本性扯了进来。
这可真是你不说我还明白，你一说我倒是糊涂了。大愚说这个其实是语言的悖论，
而不是逻辑悖论。feiyue999与feelslikespring两位都认为老师的两个条件无法
同时满足，而学生的推理无误。

　　我认为，除开语言的精确度以外，这个考试悖论还是有点意思的。我的结论
与张相同（虽然解释不同），学生有推理错误，而老师的话里并不必然包含悖论。
我是从信息学的角度来看这个问题的，而我的论证使用了概率论。

　　在张文中的考试悖论表述如下：

　　＞　逻辑课老师在周末放学时对学生说：
　　＞　　　条件一、下周要对你们考试；
　　＞　　　条件二、到底哪天考试，你们事先不可能知道。

　　首先我们要有一个对这两个条件的精确定义。以下是我用概率论的方式给出
的定义。

　　事件NE0：下周一之前不考试
　　事件NE1：下周一不考试
　　事件NE2：下周一至下周二不考试
　　。。。
　　事件NE5：下周一至下周五不考试

　　随机变量X：考试的时间。这里用1至6的整数来表示星期一至六，而0表示星
期一之前。

　　条件一：1 <= X <= 6
　　条件二：对于所有d 和e 满足0 <= d < e <= 6, 则有：Pr[ X = e 且 NEd ] 
< 1。

　　条件二也就是说，在星期d 的时候，不会发生既没有考试，我们又知道考试
时间一定是星期e 的情况。也就是说，如果还没有考试，则我们不能确定考试时
间。

　　现在我们来看学生的推理过程：

　　＞推论一、周六不可能考试，考试时间一定是周一至周五的某一天。
　　＞因为如果周一至周五都不考，那么周五放学时我们就事先知道了明
　　＞天考试，这不符合条件二。但根据条件一，下周肯定考试，因此考
　　＞试时间只能是周一至周五的某一天，周六可以排除。

　　顺着学生的这个推理的思路，我们用我们的定义重新进行一次推理:

　　推论A：对于d = 5和e = 6，我们有
　　Pr[ X = 6 且 NE5 ] = Pr[ X = 6 | NE5 ] * Pr[ NE5 ]
　　但是我们知道Pr[ X = 6 | NE5 ] = 1，所以由条件二我们得知，Pr[ NE5 ] 
< 1。

　　这样我们可以排除NE5出现几率为一的情况。所以我们可以肯定的是，周一
到周五是＊有可能＊考试的，而不是像前面的推论一，说周一到周五是＊必然＊
考试的。经过这样的推理，我们并没有获得比原来更多的信息。而这正是我们所
期待的：所有的信息都已包含在了条件一和二中，经过推理是不可能得到更多信
息的。

　　只不过这样的讨论并没有排除从条件一和条件二可以推出悖论的情况。为了
证明从这两个条件中不能推出悖论，我们只需给出一个同时能满足这两个条件的
X。设想X为1到6的概率相同，都为六分之一，则X满足这两个条件。

　　剩下的问题就是：我给出的定义符合原意吗？由于语言的不精确，不同的人
肯定有不同的看法。但是我相信对于大部分合理的定义，悖论是不存在的。

　　关于时空：

　　对于时间和空间，我相信几乎每个科学研究者都会认为那是客观实在，因为
那正是他们所研究的对象（之一）。你完全可以构造一个自洽的哲学体系，说只
有物质是实在的，而时空都是想象出来的。只不过那对于科学研究并没有什么帮
助罢了。

(XYS20050417)

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