原问题: 一个正方形，边 长为a，四角各有一个蚂蚁。它们同时向右邻的蚂蚁爬去，最后会于方形中点。求轨迹长度。
答案是4a.一开始每个蚂蚁和它右边的距离为a. 任何时候被追赶的蚂蚁的速度都垂直于两个蚂蚁的连线，而后面追赶的蚂蚁速度在连线方向, 所以后面的蚂蚁走了a追上前面的蚂蚁。总距离4a。
我把这段话翻译成严格的数学如下:
设 Xa 为后面蚂蚁的位置矢量, Xb为前面蚂蚁的位置矢量. 蚂蚁的速度矢量分别为 Va, Vb,
dXa/dt = Va
dXb/dt = Vb
相减得到
d(Xb-Xa)/dt = Vb-Va
把从 Xa 指向 Xb 的单位矢量记为 n, n=(Xb-Xa)/|Xb-Xa|. n的变化率仍是一个矢量, 且和n垂直, dn/dt .(Xb-Xa)=0 (这里 "."表示矢量点乘). 这是因为单位矢量只能改变方向, 不能改变大小.
从n的定义得到两个蚂蚁间的直线距离是 n.(Xb-Xa), 其变化率为
d(n.(Xb-Xa))/dt
= dn/dt .(Xb-Xa) + n.d(Xb-Xa)/dt
= n.(Vb-Va)
因为 Va 总是从 Xa 指向 Xb, n.Va=|Va|.又因为被追赶的蚂蚁总是垂直于连线运动, n.Vb=0, 所以
d|Xb-Xa|/dt=d (n.(Xb-Xa))/dt = -|Va|,
两个蚂蚁间距离按后面蚂蚁的速度递减.