数学家之路
——从“庞加莱猜想”说起



演讲人:丘成桐
时间：2006年6月26日　地点：光明日报社
　发布时间： 2006-06-29 06:15　来源：光明日报

今天很感谢光明日报请我来，在这里受到天林总编和各位编辑的热情招待，又看到很多青年学生也在这里，我很感动。今天我跟大家聊一些问题，尤其是“Poincare庞加莱猜想”的破解问题。

“庞加莱猜想”破解过程

　　“庞加莱猜想”的破解，是一件令我们中国人很骄傲的事情。因为在中国本土上，我们第一次完成了一个伟大数学猜想的最后一步，震动了全球数学界!我觉得特别骄傲，因为从1979年那次回国开始，我一直期望中国本土能做出一流的工作。相信我们年轻的朋友、学生也因“庞加莱猜想”的破解而受到鼓舞。

　　我想讲讲从我本人的观点来看“庞加莱猜想”，也借这个题目向大家谈谈“庞加莱猜想”研究的过程、我自己走过的一些路，给大家提供一个参考。

　　1904年,法国数学家亨利·庞加莱提出了一个拓扑学上的猜想:在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。这就是著名的“庞加莱猜想”。

　　这个猜想是几何学和拓扑学的中流砥柱，不攻克它，就会给高维拓扑学的研究带来极大的困难，就不能成功地对三维空间有所了解。而三维空间在物理学等许多学科里是一个最重要的空间。

　　庞加莱提出这个猜想，使数学家们开始进入高维拓扑学的境界。因此，一百多年来许多大数学家都希望解决这一难题。

　　我对“庞加莱猜想”花费了许多功夫。“庞加莱猜想”整个完成的过程，与我本来的构思也有相同和类似的地方。它的破解，使我觉得很兴奋。这是因为，一个伟大工作的完成，我们每个数学家都会兴奋。

　　今天早上我起床后，写了一首诗，写得不好，也不长。然而，是我真实的心情:

我曾小立断桥，
我曾徘徊河边，
想望着你绝世的姿颜。

我曾独上高楼，
远眺天涯路，
找寻你洁白无瑕的脸庞。

柔丝万丈，
何曾束缚你轻妙的体形。

圆月千里，
何处不是你的影儿，
漫漫长空，
你何尝静寂，
光芒一直触动着我的心弦。

那活动的流水，
那无所不在的热能，
不断地推动你那深不可测的三维。

活泼的舞姿，
终于摒弃了无益的渣滓。

造物的奥秘，
造物的大能，
终究需要他自己来启示。

在那茫茫的真理深渊里，
空间展开了它的华丽:平坦而素朴。

然而在这典雅的中间却充满可厌的精灵。

啊，
我们终于捕捉到这些精灵!

就在这一刹那间，
她却展现出她灿烂的身形。

让我们来祝贺，
我们终于听完了宇宙这完美歌剧的一章。

让我们高歌，
让我们来挑战，
让我们再揭开大自然的另一章。

　　这首诗描述了我30年来研究证明“庞加莱猜想”的整个心路历程。

　　我做研究生时，就知道这个猜想的重要性。我一直在研究几何学，由此对拓扑学产生了浓厚的兴趣。三维空间可以说是拓扑学的精华，有哪个拓扑学家不承认“庞加莱猜想”的重要性呢!

　　我们对自己生存的空间有绝对的好奇。古代希腊人不断地探索地中海以外的地域，也了解了地球是圆球，他们甚至量度了地球的直径。我们人类考虑空间结构已经有20多个世纪了，到目前还在讨论宇宙的结构。有深度文明的国家都会有人去考虑这些课题的哲学和科学意义。

　　我们用音乐、用文学来表达自己的心声。通过它们，我们的心灵与大自然交流，大自然迸发出的火花，使我们对科学有进一步的认识。

　　空间的结构正是如此，这是一个数学的伟大成果，也是艺术的结晶。

　　汉密尔顿方程的创立和发展，就如一首华丽的诗篇，屡败屡进，方向不移。数学家们花费20多年的努力，难道是为一些奖金吗？

　　记得在1975年，我和太太还没结婚，开车从美国东部到西南部，开了3000里路，我不停地在想“庞加莱猜想”这个问题。当然，太太当时不知道我在想这些（众笑）。

　　总之，我用了各种各样的想法和做法去证明这个问题。现在看来，大部分的努力都有意义。

　　热情，是我们对“庞加莱猜想”的研究能够发展下去的主要原因。我写这首诗，真实地表示了我当时的一种热情。

　　刚开始的十年，因为热情，我花了很多功夫，这些研究看上去好像与“庞加莱猜想”没有什么关系，可今天，在猜想完成的时候，在朱熹平、曹怀东300页的证明纸上，还可以看到我们在上世纪70年代一些想法的蛛丝马迹。

　　在上世纪70年代，我的朋友大概从这个时候开始正式引进瑞奇流方程。他是一个很重要的几何学家，用了我的建议，也用了我和我的朋友一起做出的一些步骤。

　　于是，我们慢慢地建立起攻克整个“庞加莱猜想”的方法。有了这个想法，就有了自信心。因为这么大的一个问题，如果缺乏自信心的话，那早就放弃了。

　　这样我们第一次开始有了自信心，是因为几何分析的方法开始有结果——用微分方程的方法，我将复数空间的“庞加莱猜想”解决了，这个问题叫做赛瓦立猜测。我当时解决了卡拉比猜想，是用微分方程来入手的，还用这个方法解决负函数空间的“庞加莱猜想”。

　　所以,我知道能够在空间里构造几何结构，这是一个对的方法，可是距离“庞加莱猜想”的证明相差得还很远。

　　在1978年时，我的同学瑟斯顿开始用完全不一样的方法，对这个伟大的猜想做出重要的贡献。因此他获得菲尔兹奖。他对整个三维空间和“庞加莱猜想”的深刻认识给了我很大影响。

　　到了1979年，我去康奈尔大学访问，汉密尔顿就跟我提出他创造的方程。我当时很惊讶他会去考虑这个方程。这个方程我认为很漂亮但非常困难，不大可能做出有什么意义的工作。可是,汉密尔顿是一个很有才华的数学家，对数学很有热情。

　　过了两年，汉密尔顿做出一个重要的成果。当时，我邀请他到普林斯顿研究所做一个演讲。我开始还不太相信他能有这个能力。可是，在听他讲演时，我对他很佩服，他真的做出一个很重要的工作。

　　从那时起，我建议汉密尔顿用他的方程去研究“庞加莱猜想”，我认为照这个路走下去一定会成功的。

　　可是，这是一个虚无缥缈的想法。我们虽然看到汉密尔顿先生解决了一个非常重要的环节，可是离完全解决“庞加莱猜想”还相差很远。汉密尔顿先生很努力，虽然他表面上很喜欢玩，但他研究了不少类似的方程，就这样他不停地研究。

　　到了1984年，我跟我的朋友李伟光写了一篇文章。这篇文章我很喜欢，它的内容推广了我博士毕业前的思路：“堤度估计”。我和我的朋友郑绍远一路在发展这类想法。到了我和李伟光写文章时，已经用抛物性方程来讨论问题了。

　　我对这个方程想得很深。当时写这篇文章以后，很多人不认为它重要，可是我不这么认为。我对汉密尔顿先生讲，做“庞加莱猜想”一个最重要的问题，就是需要有好的估值方法。我当时没有想到汉密尔顿先生会真正去做这个研究，而且花了很大的功夫去做，对此我非常佩服。

　　他看出了我们整个想法的重要之处，也看得出他的方程与我们的研究应该怎么配合。可是，他做的工作花了至少四年的时间，从没有想法到真正形成一个好的想法，中间可能几十个想法都没有用。

　　大约在1990年时，汉密尔顿将估计找出来了。找到这个估计，可以说是整个研究过程中的灵光一闪。

　　这是我们第一次找到解决问题的方向，从一开始到找到这个方向经过了10多年的功夫。这是很多数学家，不要讲普通的数学家，连很多著名的大数学家都不见得愿意做的事。

　　这还没有成功，只是看到了一个重要的方向。

　　1995年的一天，汉密尔顿先生跑来找我，讲他看出整个方向的走势。我看了后又是很惊讶，他怎么有这么大的能力干得如此漂亮，我真钦佩!

　　1997年,我到国内鼓励全国年轻学者和同行来做“庞加莱猜想”这个工作。因为从1979年开始，我带来一些几何方程的研究方法。国内做这方面研究的年轻人也不少，所以，我认为中国有能力完成这个问题。不幸的是，很多年纪较大的学者不愿意花很长的时间来奋斗。因为，他们愿意很快发表文章，不想花功夫去做这个艰苦又有真正意义的一流工作。

　　因此，我在南方找到朱熹平。后来，朱熹平到香港跟我谈了很久。他对这个工作有很大的兴趣，从他本来的研究方向转变过来。

　　到了2000年时，俄国数学家佩雷尔曼用了不同的方法，比我们走得快了一个步骤，得出几个重要的结果，让我们既惊讶又佩服。他的工作解决了当时我们几个人都不太懂的问题。虽然，汉密尔顿已把主要方向问题全部找出来了，可是一些重要的障碍还没有解决。

　　3年多来，朱熹平和曹怀东终于将种种障碍都搞清楚，最后将整个问题全部完成。我觉得这是一个很重要、很伟大的贡献。

　　今天，整个猜想都完成了，是一个很艰苦的过程，从汉密尔顿方程算起，大概是30年，所以我很兴奋，我的诗就是抒发了我现在的心情。

用热情去做一流的工作

　　有一点可以跟大家讲，汉密尔顿先生是一个伟大的科学家，他的学问高深，很少有人能跟他相比。可是5年前他申请美国自然资金竟然拿不到，这表明美国也有不公平。所以，我们做学问不是看别人是否重视我们。真正对学问有很大兴趣的时候，你不会因为金钱，不会因为基金拿不到而不去做。因为，“庞加莱猜想”这个命题太优美、太重要了，我们没办法来抵抗它的魅力。就像我们年轻时，喜欢漂亮的女孩子一样，不会因为有困难而不去追求她。二三十年来我们所花的功夫，越战越勇，尽管也有过许多失败。

　　五六年前，我与汉密尔顿做这个工作的时候，有好几次我们以为成功了，可是最后发现还是有漏洞。因为，这个猜想实在太难了，有波动的时候我们要忍耐，要继续地前进。我们知道，做学问的热情绝对是解决重要伟大问题的一个必要条件。所有重要伟大的问题的解决，我想都必须经过这个过程，能否抵受住时间和种种困难的煎熬。我几十年来，在美国和欧洲认识了很多数学家和物理学家，看到他们是如何创造一个伟大的工作。没有一个伟大的工作不经过这个过程。假如你对学问没有极度的热情的话，你不可能成功。数学家绝对不能今天发表一篇小文章，明天发表一篇小文章，跟着人家走，这样不可能做成大学问。

　　我们要在一开始就建立一个宏大的结构，不停地去建构这个框架，慢慢地将它完成。同时，要跟很多不同的学者交往。事实上，你们年轻人更容易做这方面的事情，你们年轻，二三十岁，正是做大学问的时候。你们的脑力、活力比年纪大的人强得多，在学术界做伟大学问的人都是从年轻的时候就开始努力了。我们将年轻人看得最重要，因为只有他们才能够做第一流的学问。我希望中国政府、中国教授们将全部精力放在培养年轻人身上。因为，整个国家的前途就在他们身上。

　　记得在1975年时，我才29岁，我一方面去追求我太太，一方面做学问，这几个月的功夫我完成了几篇重要的文章，现在看来觉得很惊讶，为什么我当时有这个能力，能够在很短的时间内做这些重要问题？首先，可能是年轻的原因。所以，年轻的同学，你们的能力比你们想象得大得多，在这样的背景下，将你的想法看得重要一点，将自己的想法培养出来。不去做第一流的工作，而做第二流的工作和第三流的工作，这是错误的。因为做第二流的工作也要花时间，而且并不比做第一流的时间少。做惯了第二流的工作，你就又会去做第三流的工作（众笑）。这实际上对你自己的发展，对科学的发展都没有好处。你坚持做第一流的工作，你就会觉得愉快，觉得有所创造，就不觉得枯燥。

　　我的很多朋友，当时他们的工作不受到重视，是慢慢才受到重视的。每一个做学问的人都会经过这样的历练。假如我们觉得今天的工作是为了导师、朋友、基金才做，那你的学问始终会有一定的限度。假如你的学问是为了这些，我想你是走错了方向，绝对走错了方向！我们做的学问是跟整个数学大潮流有关。跟上这个大潮流，需要我们去欣赏大自然，与大自然交流，产生共鸣。假如不能做到这一点，就不可能做好学问。

　　我和物理学家有很多来往，因为我从他们那里得到很多想法，这是我从数学家身上所得不到的。这些想法不一定对我证明数学问题有帮助，可是我从他们那里得到灵感和感情，能够和自己产生共鸣。我觉得这种感情需要培养。所以，我有时候谈到数学与文学、数学与物理的联系，因为我从那里培养出自己的感情。

　　我想年轻人也应当多念书，不仅读专业的书，也读其他方面的书，才可能成才。这些知识是你考试所不能得到的，因为考试是其他人写下题目，你去解决，并不是你自己去创造，我们讲的是怎么样去创造，怎么样去解决，这两个过程是连在一起的。

　　此外，你还需要种种修养，无论是数学、物理、文学的修养都需要。在美国的名校，比如哈佛大学或者斯坦福大学就很注重通才的培养，一个学期里，学生应该去学不同的学科，有了这些教育，才能够掌握种种不同的接触大自然界的方法和能力。而且，我们还要从朋友、同学那里得到养分——这些是我们做学问不可缺少的养分。

　　这些养分不是一朝一夕能得到的，是需要花很多功夫才能培养出来的。所以，与师生、朋友的接触，让我们得到很多知识，这种知识是课本上得不到的。

　　做学问还需要有一个好的基础。我小的时候始终没有把物理学好，长大后虽然对物理也有点贡献，但不能说对它有深刻的想法。我为什么今天要讲这点呢？因为你们大学生、研究生，正是需要培养最基本看法的时候，有很多想法是一个直觉，这个直觉是从小就开始培养的。我看一些数学，尤其是几何，一眼看去，就会有直觉的反映。可是，我看物理上的题目就没有这种直觉了，因为我的基础不好。因此，基本功夫不可以放弃，从早就要学习。

　　所以，你要修养自己的感情、培养自己的基本功，这是学有所成最重要的条件，这点绝对不能泯灭。至于怎么做大学问，你的感情一定要丰富，同时境界要放得很高远。感情靠不停地培养，不能中断，所以你要有好朋友、好老师来帮忙。这是中国教育要特别注意的地方。境界不高远，眼光不长远，不可能做好学问。我希望各位，在新中国大起飞的今天，能将眼光看得更远，做成第一流的学问。

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