送交者: 自如 于 2005-8-19, 16:21:44:
书剑子对於教材编写的批评我是赞同的。但他坚持的“正确的并且是很优美的”的逻辑我仍然没有看懂。
“无论对于最大值还是最小值都有坐标轮换对称性成立。因为不管最
大值还是最小值都是客观存在（由物理意义知道解是存在的，但是唯一性是需要
证明的），既然在体积的公式V=xyz与约束条件2zx+2zy+xy=80中X与Y的地位是完
全一样的，将其交换（相当于坐标系旋转了90度）结论仍然不变——体积的最值
是客观存在，不会因为坐标的变化而变化——物理客观与坐标无关！新旧坐标系
中的长和宽是相互调换的，所以得处长和宽相等”
坐标变换后长宽对调而立即就得出长宽相等，这只有在已知最值解唯一的前提下才成立。如果换一个题目，最值解有多组，完全可以出现类似(X，Y) \in \{ (4,2), (2,4)\}的情况。如果这是一个数学竞赛的选择题，而答案都是一个一个的解，猜长宽相等正是必备的技巧。除此之外，我不知道对一般情况怎么就一定能够作这样的判断。
当然，Wangyu在这一点上的反驳没有击中要害，因为他己承认了这种思维的合理性 --- “因为根据对称性，坐标轮换只能得出底面为正方形时体积是一个极值”。但Wangyu说“极值有极大值和极小值，而极大值也不一定是最大值”是对的。解出Lagrange方程组后，还要与边界上(隐含的x,y,h>=0)的目标值比较后才能得出最大值最小值。因为极值=>导数(or Lagrange derivative w/ constraint)=0只对于光滑点才有意义。