即使泰勒斯和他的继任者知道他们需要从他们的物质理论中得出可验证的结果，他们也几乎无法去实现，其中部分原因在于希腊数学的局限性。巴比伦人那时在算术方面已经取得伟大成就，他们采用60进制而不是10进制。他们也发展了简单的代数，比如解各种二次方程方法（虽然没有用符合表示）。但是早期希腊人的数学很大程度上只是几何。我们前面讲过，柏拉图时代的数学家已经发现了三角形和多面体定律。欧几里德《几何原本》中的许多几何知识在欧几里德时代（约公元前300年）之前已经广为人知。但是在那时希腊只掌握有限的算术，更不用说代数，三角学，或微积分。
最早应用算术方法去研究的现象可能是音乐。这是毕达哥拉斯追随者所为。毕达哥拉斯是萨摩斯爱奥尼亚岛人，大约在公元前530年移居到意大利南部。他在那里的克罗托内希腊城创立了一个邪教组织，该组织一直延续到公元前300年。
采用“邪教”一词是合适的。早期毕达哥拉斯学派没有留下任何文字记录，但是根据其他作者的故事讲述，毕达哥拉斯学派相信灵魂的轮回转世。他们穿着白色长袍，禁止食用豆子，因为豆子与人类胎儿相似。他们组织了一种神权政体，在他们的统治下克罗托内人民在公元前510年摧毁了邻城锡巴里斯。
毕达哥拉斯学派与科学史相关的一面是他们对数学的投入。据亚里士多德《形而上学》记载“他们被称为毕达哥拉斯学派，投身于数学，他们率先引领了数学研究，由于潜心于数学，他们认为数学原则是万物的原则。”
他们重视数学可能源于对音乐的观察。他们注意到在弹奏弦乐器时，如果粗度，成分和弹性一样的两根弦长度之比为小整数，那么奏出的音乐很优美。最简单的情形是一根弦是另一根的一半长。用现代术语，我们说这两根弦相差八度。我们用同样的字母标记他们的声音。如果一根弦是另一根的三分之二长，奏出的两个音符形成“五度音程”，一种非常动听的和弦。如果一根弦是另一根的四分之三长，他们发出的动听的和弦叫“四度音程”。相反，如果两根弦长度之比不是小整数（比如比值为100000/314159），或完全不是整数，那么发出的声音很刺耳，很不动听。我们现在知道这有两个原因，与两根弦一起弹奏时发出的声音周期以及泛音的匹配有关。（见技术说明3）。毕达哥拉斯学派不明白这些道理, 那时也没有其他人明白，这个机理直到17世纪才由法国神父马林.梅森做出解释。相反，据亚里士多德记载，毕达哥拉斯学派则断定“整个世界皆为音阶”。这个观点持续很久。比如西塞罗在《论共和国》里讲述了一个故事，古罗马统帅大西庇阿的幽灵将他的孙子引入到音乐王国。
毕达哥拉斯学派取得的最大进步是在纯数学领域，而非物理领域。毕达哥拉斯定理众所周知，即直角三角形斜边构成的正方形的面积等于两个直角边构成的正方形的面积之和。没人知道毕达哥拉斯学派中的哪一位证明这个定理，或是如何证明的。基于比例理论可以给出简单的证明，该理论由柏拉图时代毕达哥拉斯学派塔伦通的阿契塔提出。（见技术说明4，欧几里德《几何原本》卷1命题46给出的证明更加复杂）。阿契塔也解决了一个著名的遗留问题：给定一个立方体，应用纯粹的几何方法做另一个立方体，体积刚好是给定立方体的两倍。
毕达哥拉斯定理直接带来了另一项伟大的发现：几何图形中含有不能用整数之比来表示的长度。如果直角三角形两个直角边长为1（不管单位），那么由这两个边长构成的两个正方形面积之和为 12+12=2， 根据毕达哥拉斯定理，斜边长度一定是一个平方为2 的数。很容易证明平方为2 的数无法用整数之比来表示（见技术说明5）。在欧几里德《几何原本》卷X中给出了证明，亚里士多德早先在《前分析篇》中作为反证法的例子提到了这个定理，但没有给出出处。传说这项发现是由生活在意大利南部梅塔蓬图姆的希帕索斯作出，由于泄漏了这个发现，他被毕达哥拉斯学派的人放逐或可能被杀害。
今天我们把像2 的平方根这样的数叫做无理数—他们不能由整数的比值来表示。据柏拉图记载，昔兰尼城的西奥多勒斯证实3，5，6，… 15，17（即除1，4，9，16等本身是其他整数平方以外的所有整数，这点柏拉图没有明说）等等的平方根也同样是无理数。但是早期希腊人不这样表述，而像柏拉图所表述的，面积为2，3，5 等正方形的边长与单位长度“不可通约”。早期希腊人只知道有理数，对他们而言像2的平方根这样的数只具有几何意义，这个局限制约了算术的发展。
柏拉图学院延续了关注纯数学的传统。据说学院入口有个标识：不懂几何者莫入。柏拉图本人不是数学家，但是他对数学很有热情，这其中部分原因可能是由于他在去西西里指导叙拉古城戴奥尼夏二世的旅途中遇到了毕达哥拉斯学派的阿尔库塔斯。学院里一位对柏拉图影响巨大的数学家是雅典的泰阿泰德。他是柏拉图一个对话录中的标题人物，也是另一部的主要对象。人们把五个正多面体的发现归功于泰阿泰德，正如我们前面介绍过的，五实体为柏拉图的元素理论提供了基础。欧几里德《几何原本》给出的这五个实体是仅有的五个凸面实体的证明可能源自泰阿泰德。（注）。他对现今称为无理数的理论也做出了贡献。
（注：事实上（如技术说明2所讨论），无论泰阿泰德证明了什么，《几何原本》并没有真正证明它所声称的对仅存五个凸面实体可能性的证明。《几何原本》确实证明了对于正多面体，仅存在五种多面体每个面的边数和在每个顶点交汇的面数的组合。但是它并没有证明对于这些数的每种组合只有一种凸面的可能（？）。）
公元前四世纪最伟大的古希腊数学家可能是尼多斯的欧多克索斯，他是阿尔希塔斯的学生，与柏拉图是同时代人。欧多克索斯一生大部分时间居住于小亚细亚港口城市尼多斯，他曾经在柏拉图学院学习，后来又返回学院任教。欧多克索斯没有著作流传下来，但是人们认为他解决了许多数学领域的难题。比如证明同底同高的圆锥体体积是圆柱体的三分之一。（我不知道欧多克索斯不用微积分如何做出证明）。他对数学最大的贡献是引入了严谨风格，定理可以从清晰表述的公理中推导出来。后来欧几里德著作中采用的就是这种风格。事实上，欧几里德《几何原本》中的许多细节都源于欧多克索斯。
欧多克索斯和毕达哥拉斯学派在数学方面取得了伟大成就，但是他们对自然科学带来的影响好坏参半。其一是欧几里德的《几何原本》采用的推理式写作风格被自然科学工作者无止尽地模仿，有时非常不合适。我们会看到亚里士多德关于自然科学的著作很少涉及数学，但是有时会出现对数学推理的拙劣的模仿。比如在他的《物理学》一书中对运动的讨论：“然后A将用C时间穿过B, 用E时间穿过更稀薄的D （若B和D距离相等），时间正比于障碍物的密度。设想B为水，D为空气。”希腊最伟大的物理著作可能是阿基米德的《论浮体》。在第四章我们将详细介绍。该书写的像数学教科书，先有不容置疑的假设，然后是推导出的命题。阿基米德足够聪明，他会选择正确的假设，但是现在科学研究需要的是推理，归纳和猜想。
比这种写作风格更为严重的问题（虽然与此有关）是人们受数学研究而产生的一个错误理解：即通过独立思维可以得出真相。在《理想国》讨论哲学家国王教育时，柏拉图描写苏格拉底争辩说天文学研究应该像研究几何一样。按苏格拉底的意思，仰望天空可能会激发思维，正如观察几何图形可能有助于数学一样，但是这两种情形下获得的知识都来源于纯粹思维。在《理想国》中苏格拉底解释道：“我们应该把天体仅仅作为图形来帮助我们研究其他领域，就像我们面对特殊几何图形一些。”
数学是我们进行物理理论推导的工具。不只如此，它还是一种无可替代的表达物理科学原理的语言。它经常启发出新的认知自然科学的观点。同时，科学的需求也推动了数学的发展。理论物理学家爱德华-威滕的研究工作加深了人们对数学的认识，因此他在1990年被授予数学界最高大奖—菲尔兹奖。但是数学不是自然科学。不结合观察，数学本身不能告诉我们对于世界的任何认知。数学定理也不可能通过观察外部世界得以确定或否定。
这点在古代并不明确，即使在现代早期也是如此。我们前面看到柏拉图和毕达哥拉斯把数学或三角这样的数学概念作为自然界的基本物质组成，我们也会看到一些哲学家认为数理天文学是数学的分枝，而不属于自然科学。
数学与天文学的界限现在已经很明确。我们对数学仍然感到神秘，为什么一些与自然世界毫无关系的数学进展却常常在物理理论中得以实用。物理学家尤金-维格纳在一篇著名的文章中写道：“数学不合情理的有效性”。但是通常我们还是可以很容易区分数学观念与科学原理—科学原理可以通过对现实世界的观察得以最终证实。
有时当代数学家和物理学家会持有不同意见，这通常发生在有关数学严谨性方面。从19世纪早期开始，纯数学研究人员认为严谨至关重要，定义与假设必须准确，推论必须在绝对确定下做出。物理学家更加机会主义，只要求足够的准确，不会导致严重的错误即可。在我的有关量子场论专著前言中，我承认“这本书的部分内容会让热衷数学的读者落泪。”
这会带来沟通问题。数学家告诉我他们常常发觉物理学文献令人恼火地含糊。像我这样需要高级数学工具的物理学家会发觉由于数学家的追求严谨造成他们的文章太过复杂，让人失去兴趣。
一些热衷于数学的物理学家做出了崇高地努力，力图将现代基本粒子物理模型—量子场论—做到更加严谨，而且他们也已经取得了很大进展。但是上个半世纪发展起来的基本粒子标准模型完全没有基于对更高数学严谨性的追求。
欧几里德后的希腊数学持续繁荣。在第四章我们会看到希腊化时代数学家阿基米德和阿波罗的伟大成就。