曹天元：世纪之争（三）摘自《量子史话》
隐变量理论、贝尔不等式及实验验证
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玻姆的隐变量理论是德布罗意导波的一个增强版，只不过他把所谓的“导波”换成了“量子势”(quantum potential)的概念。在他的描述中，电子或者光子始终是一个实实在在的粒子，不论我们是否观察它，它都具有确定的位置和动量。但是，一个电子除了具有通常的一些性质，比如电磁势之外，还具有所谓的“量子势”。这其实就是一种类似波动的东西，它按照薛定谔方程发展，在电子的周围扩散开去。但是，量子势所产生的效应和它的强度无关，而只和它的形状有关，这使它可以一直延伸到宇宙的尽头，而不发生衰减。
在玻姆理论里，我们必须把电子想象成这样一种东西：它本质上是一个经典的粒子，但以它为中心发散出一种势场，这种势弥漫在整个宇宙中，使它每时每刻都对周围的环境了如指掌。当一个电子向一个双缝进发时，它的量子势会在它到达之前便感应到双缝的存在，从而指导它按照标准的干涉模式行动。如果我们试图关闭一条狭缝，无处不在的量子势便会感应到这一变化，从而引导电子改变它的行为模式。特别地，如果你试图去测量一个电子的具体位置的话，你的测量仪器将首先与它的量子势发生作用，这将使电子本身发生微妙的变化，这种变化是不可预测的，因为主宰它们的是一些“隐变量”，你无法直接探测到它们。
玻姆用的数学手法十分高超，他的体系的确基本做到了传统的量子力学所能做到的一切！但是，让我们感到不舒服的是，这样一个隐变量理论始终似乎显得有些多余。量子力学从世纪初一路走来，诸位物理大师为它打造了金光闪闪的基本数学形式。它是如此漂亮而简洁，在实际中又是如此管用，以致于我们觉得除非绝对必要，似乎没有理由给它强迫加上笨重而丑陋的附加假设。玻姆的隐函数理论复杂繁琐又难以服众，他假设一个电子具有确定的轨迹，却又规定因为隐变量的扰动关系，我们绝对观察不到这样的轨迹！这无疑违反了奥卡姆剃刀原则：存在却绝对观测不到，这和不存在又有何分别呢？难道，我们为了这个世界的实在性，就非要放弃物理原理的优美、明晰和简洁吗？这连爱因斯坦本人都会反对，他对科学美有着比任何人都要深的向往和眷恋。事实上，爱因斯坦，甚至德布罗意生前都没有对玻姆的理论表示过积极的认同。
更不可原谅的是，玻姆在不惜一切代价地地恢复了世界的实在性和决定性之后，却放弃了另一样同等重要的东西：定域性(Locality)。定域性指的是，在某段时间里，所有的因果关系都必须维持在一个特定的区域内，而不能超越时空来瞬间地作用和传播。简单来说，就是指不能有超距作用的因果关系，任何信息都必须以光速这个上限而发送，这也就是相对论的精神！但是在玻姆那里，他的量子势可以瞬间把它的触角伸到宇宙的尽头，一旦在某地发生什么，其信息立刻便传达到每一个电子耳边。如果玻姆的理论成立的话，超光速的通讯在宇宙中简直就是无处不在，爱因斯坦不会容忍这一切的！
但是，玻姆他的确打破了因为冯诺伊曼的错误而造成的坚冰，至少给隐变量从荆棘中艰难地开辟出了一条道路。不管怎么样，隐变量理论在原则上毕竟是可能的，那么，我们是不是至少还保有一线希望，可以发展出一个完美的隐变量理论，使得我们在将来的某一天得以同时拥有一个确定、实在，而又拥有定域性的温暖世界呢？这样一个世界，不就是爱因斯坦的终极梦想吗？
1928年7月28日，距离量子论最精彩的华章——不确定性原理的谱写已经过去一年有余。在这一天，约翰•斯图尔特•贝尔(John Stewart Bell)出生在北爱尔兰的首府贝尔法斯特。
小贝尔在孩提时代就表现出了过人的聪明才智，他在11岁上向母亲立志，要成为一名科学家。16岁时贝尔因为尚不够年龄入读大学，先到贝尔法斯特女王大学的实验室当了一年的实习工，然而他的才华已经深深感染了那里的教授和员工。一年后他顺理成章地进入女王大学攻读物理，虽然主修的是实验物理，但他同时也对理论物理表现出非凡的兴趣。特别是方兴未艾的量子论，它展现出的深刻的哲学内涵令贝尔相当沉迷。
贝尔在大学的时候，量子论大厦主体部分的建设已经尘埃落定，基本的理论框架已经由海森堡和薛定谔所打造完毕，而玻尔已经为它作出了哲学上最意味深长的诠释。20世纪物理史上最激动人心的那些年代已经逝去，没能参予其间当然是一件遗憾的事，但也许正是因为这样，人们得以稍稍冷静下来，不致于为了那伟大的事业而过于热血沸腾，身不由己地便拜倒在尼尔斯•玻尔那几乎不可抗拒的个人魔力之下。贝尔不无吃惊地发现，自己并不同意老师和教科书上对于量子论的正统解释。海森堡的不确定性原理——它听上去是如此具有主观的味道，实在不讨人喜欢。贝尔想要的是一个确定的，客观的物理理论，他把自己描述为一个爱因斯坦的忠实追随者。
毕业以后，贝尔先是进入英国原子能研究所(AERE)工作，后来转去了欧洲粒子中心(CERN)。他的主要工作集中在加速器和粒子物理领域方面，但他仍然保持着对量子物理的浓厚兴趣，在业余时间里密切关注着它的发展。1952年玻姆理论问世，这使贝尔感到相当兴奋。他为隐变量理论的想法所着迷，认为它恢复了实在论和决定论，无疑迈出了通向那个终极梦想的第一步。这个终极梦想，也就是我们一直提到的，使世界重新回到客观独立，优雅确定，严格遵守因果关系的轨道上来。贝尔觉得，隐变量理论正是爱因斯坦所要求的东西，可以完成对量子力学的完备化。然而这或许是贝尔的一厢情愿，因为极为讽刺的是，甚至爱因斯坦本人都不认同玻姆！
不管怎么样，贝尔准备仔细地考察一下，对于德布罗意和玻姆的想法是否能够有实际的反驳，也就是说，是否真如他们所宣称的那样，对于所有的量子现象我们都可以抛弃不确定性，而改用某种实在论来描述。1963年，贝尔在日内瓦遇到了约克教授，两人对此进行了深入的讨论，贝尔逐渐形成了他的想法。假如我们的宇宙真的是如爱因斯坦所梦想的那样，它应当具有怎样的性质呢？要探讨这一点，我们必须重拾起爱因斯坦昔日与玻尔论战时所提到的一个思想实验——EPR佯谬。
要是你已经忘记了EPR是个什么东西，可以先复习一下我们史话的8-4。我们所描述的实际上是经过玻姆简化过的EPR版本，不过它们在本质上是一样的。现在让我们重做EPR实验：一个母粒子分裂成向相反方向飞开去的两个小粒子A和B，它们理论上具有相反的自旋方向，但在没有观察之前，照量子派的讲法，它们的自旋是处在不确定的叠加态中的，而爱因斯坦则坚持，从分离的那一刻起，A和B的状态就都是确定了的。
我们用一个矢量来表示自旋方向，现在甲乙两人站在遥远的天际两端等候着A和B的分别到来(比方说，甲在人马座的方向，乙在双子座的方向)。在某个按照宇宙标准时间所约好了的关键时刻(比方说，宇宙历767年8月12日9点整，听起来怎么像银英传，呵呵)，两人同时对A和B的自旋在同一个方向上作出测量。那么，正如我们已经讨论过的，因为要保持总体上的守恒，这两个自旋必定相反，不论在哪个方向上都是如此。假如甲在某方向上测量到A的自旋为正(＋)，那么同时乙在这个方向上得到的B自旋的测量结果必定为负(-)！
换句话说，A和B——不论它们相隔多么遥远——看起来似乎总是如同约好了那样，当A是＋的时候B必定是-，它们的合作率是100%！在统计学上，拿稍微正式一点的术语来说，(A＋，B-)的相关性(correlation)是100%，也就是1。我们需要熟悉一下相关性这个概念，它是表示合作程度的一个变量，假如A和B每次都合作，比如A是＋时B总是-，那么相关性就达到最大值1，反过来，假如B每次都不和A合作，每当A是＋是B偏偏也非要是＋，那么(A＋，B-)的相关率就达到最小值-1。当然这时候从另一个角度看，(A＋，B＋)的相关就是1了。要是B不和A合作也不有意对抗，它的取值和A毫无关系，显得完全随机，那么B就和A并不相关，相关性是0。
在EPR里，不管两个粒子的状态在观测前究竟确不确定，最后的结果是肯定的：在同一个方向上要么是(A＋，B-)，要么是(A-，B＋)，相关性是1。但是，这是在同一方向上，假设在不同方向上呢？假设甲沿着x轴方向测量A的自旋，乙沿着y轴方向测量B，其结果的相关率会是如何呢？冥冥中一丝第六感告诉我们，决定命运的时刻就要到来了。
实际上我们生活在一个3维空间，可以在3个方向上进行观测，我们把这3个方向假设为x，y，z。
它们并不一定需要互相垂直，任意地取便是。每个粒子的自旋在一个特定的方向无非是正负两种可能，那么在3个方向上无非总共是8种可能(把每个方向想像成一根爻，那么组合结果无非是8个卦)。
x y z
+ + +
+ + -
+ – +
+ – -
- + +
- + -
- – +
- – -
对于A来说有8种可能，那么对于A和B总体来说呢？显然也是8种可能，因为我们一旦观测了A，B也就确定了。如果A是(＋，＋，-)，那么因为要守恒，B一定是(-，-，＋)。现在让我们假设量子论是错误的，A和B的观测结果在分离时便一早注定，我们无法预测，只不过是不清楚其中的隐变量究竟是多少的缘故。不过没关系，我们假设这个隐变量是H，它可以取值1-8，分别对应于一种观测的可能性。再让我们假设，对应于每一种可能性，其出现的概率分别是N1，N2……一直到N8。现在我们就有了一个可能的观测结果的总表：
Ax Ay Az Bx By Bz 出现概率
+ + + – - – N1
+ + – - – + N2
+ – + – + – N3
+ – - – + + N4
- + + + – - N5
- + – + – + N6
- – + + + – N7
- – - + + + N8
上面的每一行都表示一种可能出现的结果，比如第一行就表示甲观察到A在x，y，z三个方向上的自旋都为＋，而乙观察到B在3个方向上的自旋相应地均为-，这种结果出现的可能性是N1。因为观测结果8者必居其一，所以N1＋N2＋…＋N8＝1，这个各位都可以理解吧？
现在让我们运用一点小学数学的水平，来做一做相关性的练习。我们暂时只察看x方向，在这个方向上，(Ax＋，Bx-)的相关性是多少呢？我们需要这样做：当一个记录符合两种情况之一：当在x方向上A为＋而B同时为-，或者A不为＋而B也同时不为-，如果这样，它便符合我们的要求，标志着对(Ax＋，Bx-)的合作态度，于是我们就加上相应的概率。相反，如果在x上A为＋而B也同时为＋，或者A为-而B也为-，这是对(Ax＋，Bx-)组合的一种破坏和抵触，我们必须减去相应的概率。
从上表可以看出，前4种可能都是Ax为＋而Bx同时为-，后4种可能都是Ax不为＋而Bx也不为-，所以8行都符合我们的条件，全是正号。我们的结果是N1＋N2＋…＋N8＝1！所以(Ax＋，Bx-)的相关是1，这毫不奇怪，我们的表本来就是以此为前提编出来的。如果我们要计算(Ax＋，Bx＋)的相关，那么8行就全不符合条件，全是负号，我们的结果是-N1-N2-…-N8＝-1。
接下来我们要走得远一点，A在x方向上为＋，而B在y方向上为＋，这两个观测结果的相关性是多少呢？现在是两个不同的方向，不过计算原则是一样的：要是一个记录符合Ax为＋以及By为＋，或者Ax不为＋以及By也不为＋时，我们就加上相应的概率，反之就减去。让我们仔细地考察上表，最后得到的结果应该是这样的，用Pxy来表示：
Pxy＝-N1-N2＋N3＋N4＋N5＋N6-N7-N8
嗯，蛮容易的嘛，我们再来算算Pxz，也就是Ax为＋同时Bz为＋的相关：
Pxz＝-N1＋N2-N3＋N4＋N5-N6＋N7-N8
再来，这次是Pzy，也就是Az为＋且By为＋：
Pzy＝-N1＋N2＋N3-N4-N5＋N6＋N7-N8
好了，差不多了，现在我们把玩一下我们的计算结果，把Pxz减去Pzy再取绝对值：
|Pxz-Pzy|＝|-2N3＋2N4＋2N5-2N6|＝2 |N3＋N4-N5-N6|
这里需要各位努力一下，超越小学数学的水平，回忆一下初中的知识。关于绝对值，我们有关系式|x-y|≤|x|＋|y|，所以套用到上面的式子里，我们有：
|Pxz-Pzy|＝2 |N3＋N4-N5-N6|≤2(|N3＋N4|＋|N5＋N6|)
因为所有的概率都不为负数，所以2(|N3＋N4|＋|N5＋N6|)＝2(N3＋N4＋N5＋N6)。最后，我们还记得N1＋N2＋…+N8＝1，所以我们可以从上式中凑一个1出来：
2(N3＋N4＋N5＋N6)＝1＋(-N1-N2＋N3＋N4＋N5＋N6-N7-N8)
看看我们前面的计算，后面括号里的一大串不正是Pxy吗？所以我们得到最终的结果：
|Pxz-Pzy|≤1＋Pxy
恭喜你，你已经证明了这个宇宙中最为神秘和深刻的定理之一。现在放在你眼前的，就是名垂千古的“贝尔不等式”。它被人称为“科学中最深刻的发现”，它即将对我们这个宇宙的终极命运作出最后的判决。
(我们的证明当然是简化了的，隐变量不一定是离散的，而可以定义为区间λ上的一个连续函数。即使如此，只要稍懂一点积分知识也不难推出贝尔不等式来，各位有兴趣的可以动手一试。)
2
|Pxz-Pzy|≤1＋Pxy
嗯，这个不等式看上去普普通通，似乎不见得有什么神奇的魔力，更不用说对于我们宇宙的本质作出终极的裁决。它真的有这样的威力吗？
我们还是先来看看，贝尔不等式究竟意味着什么。我们在上一章已经描述过了，Pxy代表了A粒子在x方向上为＋，而同时B粒子在y方向上亦为＋这两个事件的相关性。相关性是一种合作程度的体现(不管是双方出奇地一致还是出奇地不一致都意味着合作程度很高)，而合作则需要双方都了解对方的情况，这样才能够有效地协调。在隐变量理论中，我们对于两个粒子的描述是符合常识的：无论观察与否，两个粒子始终存在于客观现实之内，它们的状态从分裂的一霎那起就都是确定无疑的。假如我们禁止宇宙中有超越光速的信号传播，那么理论上当我们同时观察两个粒子的时候，它们之间无法交换任何信息，它们所能达到的最大协作程度仅仅限于经典世界所给出的极限。这个极限，也就是我们用经典方法推导出来的贝尔不等式。
如果世界的本质是经典的，具体地说，如果我们的世界同时满足：1.定域的，也就是没有超光速信号的传播。2.实在的，也就是说，存在着一个独立于我们观察的外部世界。那么我们任意取3个方向观测A和B的自旋，它们所表现出来的协作程度必定要受限贝尔不等式之内。也就是说，假如上帝是爱因斯坦所想象的那个不掷骰子的慈祥的“老头子”，那么贝尔不等式就是他给这个宇宙所定下的神圣的束缚。不管我们的观测方向是怎么取的，在EPR实验中的两个粒子决不可能冒犯他老人家的尊严，而胆敢突破这一禁区。事实上，这不是敢不敢的问题，而是两个经典粒子在逻辑上根本不具有这样的能力：它们之间既然无法交换信号，就决不能表现得亲密无间。
但是，量子论的预言就不同了！贝尔证明，在量子论中，只要我们把a和b之间的夹角θ取得足够小，则贝尔不等式是可以被突破的！具体的证明需要用到略微复杂一点的物理和数学知识，我在这里略过不谈了，但请诸位相信我，在一个量子主宰的世界里，A和B两粒子在相隔非常遥远的情况下，在不同方向上仍然可以表现出很高的协作程度，以致于贝尔不等式不成立。这在经典图景中是决不可能发生的。
我们这样来想象EPR实验：有两个罪犯抢劫了银行之后从犯罪现场飞也似地逃命，但他们慌不择路，两个人沿着相反的两个方向逃跑，结果于同一时刻在马路的两头被守候的警察分别抓获。现在我们来录取他们的口供，假设警察甲问罪犯A：“你是带头的那个吗？”A的回答无非是“是”，或者“不是”。在马路另一头，如果警察乙问罪犯B同一个问题：“你是带头的那个吗？”那么B的回答必定与A相反，因为大哥只能有1个，不是A带着B就是B带着A。两个警察问的问题在“同一方向”上，知道了A的答案，就等于知道了B的答案，他们的答案，100%地不同，协作率100%。在这点上，无论是经典世界还是量子世界都是一样的。
但是，回到经典世界里，假如两个警察问的是不同角度的问题，比如说问A：“你需要自己聘请律师吗？”问B：“你现在要喝水吗？”这是两个彼此无关的问题(在不同的方向上)，A可能回答“要”或者“不要”，但这应该对B怎样回答问题毫无关系，因为B和A理论上已经失去了联系，B不可能按照A的行动来斟酌自己的答案。
不过，这只是经典世界里的罪犯，要是我们有两个“量子罪犯”，那可就不同了。当A决定聘请律师的时候，B就会有更大的可能性想要喝水，反之亦然！看起来，似乎是A和B之间有一种神奇的心灵感应，使得他们即使面临不同的质询时，仍然回答得出奇地一致！量子世界的Bonnie&Clyde，即使他们相隔万里，仍然合作无间，按照哥本哈根解释，这是因为在具体地回答问题前，两个人根本不存在于“实在”之中，而是合为一体，按照波函数弥漫。用薛定谔发明的术语来说，在观测之前，两个人(粒子)处在一种“纠缠”(entanglement)的状态，他们是一个整体，具有一种“不可分离性”(inseparability)！
这样说当然是简单化的，具体的条件还是我们的贝尔不等式。总而言之，如果世界是经典的，那么在EPR中贝尔不等式就必须得到满足，反之则可以突破。我们手中的这个神秘的不等式成了判定宇宙最基本性质的试金石，它仿佛就是那把开启奥秘之门的钥匙，可以带领我们领悟到自然的终极奥义。
而最叫人激动的是，和胡思乱想的一些实验(比如说疯狂的量子自杀)不同，EPR不管是在技术或是伦理上都不是不可实现的！我们可以确实地去做一些实验，来看看我们生活其中的世界究竟是如爱因斯坦所祈祷的那样，是定域实在的，还是它的神奇终究超越我们的想象，让我们这些凡人不得不怀着更为敬畏的心情去继续探索它那深深隐藏的秘密。
1964年，贝尔把他的不等式发表在一份名为《物理》(Physics)的杂志的创刊号上，题为《论EPR佯谬》(On the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox)。这篇论文是20世纪物理史上的名篇，它的论证和推导如此简单明晰却又深得精髓，教人拍案叫绝。1973年诺贝尔物理奖得主约瑟夫森(Brian D.Josephson)把贝尔不等式称为“物理学中最重要的新进展”，斯塔普(Henry Stapp，就是我们前面提到的，鼓吹精神使波函数坍缩的那个)则把它称作“科学中最深刻的发现”(the most profound discovery in science)。
不过，《物理》杂志却没有因为发表了这篇光辉灿烂的论文而得到什么好运气，这份期刊只发行了一年就倒闭了。如今想要寻找贝尔的原始论文，最好还是翻阅他的著作《量子力学中的可道与不可道》(Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge 1987)。
在这之前，贝尔发现了冯诺伊曼的错误，并给《现代物理评论》(Reviews of Modern Physics)杂志写了文章。虽然因为种种原因，此文直到1966年才被发表出来，但无论如何已经改变了这样一个尴尬的局面，即一边有冯诺伊曼关于隐函数理论不可能的“证明”，另一边却的确存在着玻姆的量子势！冯诺伊曼的封咒如今被摧毁了。
现在，贝尔显得踌躇满志：通往爱因斯坦梦想的一切障碍都已经给他扫清了，冯诺伊曼已经不再挡道，玻姆已经迈出了第一步。而他，已经打造出了足够致量子论以死命的武器，也就是那个威力无边的不等式。贝尔对世界的实在性深信不已，大自然不可能是依赖于我们的观察而存在的，这还用说吗？现在，似乎只要安排一个EPR式的实验，用无可辩驳的证据告诉世人：无论在任何情况下，贝尔不等式也是成立的。粒子之间心灵感应式的合作是纯粹的胡说八道，可笑的妄想，量子论已经把我们的思维搞得混乱不堪，是时候回到正常状况来了。量子不确定性……嗯，是一个漂亮的作品，一种不错的尝试，值得在物理史上获得它应有的地位，毕竟它管用。但是，它不可能是真实，而只是一种近似！更为可靠，更为接近真理的一定是一种传统的隐变量理论，它就像相对论那样让人觉得安全，没有骰子乱飞，没有奇妙的多宇宙，没有超光速的信号。是的，只有这样才能恢复物理学的光荣，那个值得我们骄傲和炫耀的物理学，那个真正的，庄严的宇宙的立法者，而不是靠运气和随机性来主宰一切的投机贩子。
真的，也许只差那么小小的一步，我们就可以回到旧日的光辉中去了。那个从海森堡以来失落已久的极乐世界，那个宇宙万物都严格而丝丝入扣地有序运转的伟大图景，叫怀旧的人们痴痴想念的古典时代。真的，大概就差一步了，也许，很快我们就可以在管风琴的伴奏中吟唱弥尔顿那神圣而不朽的句子：
昔有乐土，岁月其徂。
有子不忠，天赫斯怒。
彷徨放逐，维罪之故。
一人皈依，众人得赎。
今我来思，咏彼之复。
此心坚忍，无入邪途。
孽愆尽洗，重归正路。
瞻彼伊甸，崛起荒芜。
(《复乐园》卷一，1-7)
只是贝尔似乎忘了一件事：威力强大的武器往往都是双刃剑。
（待续）