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知乎用户，历史爱好者

知乎用户、吴帆、MarkII 等人赞同

前面已经有人说过物理的应用，我简单说说数学方面的。

指标定理诞生于拓扑学大发展的二十世纪四五十年代。从拓扑学诞生开始其中心问题就是判断两个空间是否同胚。为此大家就一直在寻找各种各样的拓扑不变量作为判断根据。但是构造出来的拓扑不变量一般都比较复杂，很难计算和应用，从而产生了一种思潮，即拓扑量的几何化，这也是现代微分几何的开端。几何的优点在于直观可计算（不是容易计算）。如果我们能够在一个流形上通过度量联络等几何量得到一个和最后和几何无关的量，那它就是一个拓扑不变量。接下来的问题就是对已有的拓扑量，如何用几何手段来构造。

最早的几何化尝试应该要追溯到高斯。高斯-博内特公式将曲面的欧拉示性数几何化为高斯曲率的积分。现代拓扑学中，第一个应该是德拉姆对上同调群的几何化。但真正开启现代微分几何大门的是陈省身对高维欧拉示性数的几何化。接下来希策布鲁赫在其影响下推广了黎曼-洛赫定理并将拓扑量signature几何化。最后是阿蒂亚-辛格把之前的几个特例综合在一起并加以推广就是我们现在看到的指标定理。至于微分算子指标方面，这里先不理他。

所以，从历史看，指标定理不是为了解决某个具体问题而出现的，而是发源于一次现代数学的理论思潮，其贡献是结构性的而不是针对某个问题。

其次，指标定理可以算是一只下金蛋的鸡。和费马大定理不同，指标定理下蛋不是通过对问题证明的探索而是问题已经证好后对新证明的探索。除了代数基本定理以外，我们很难看到一个定理有了十个证明（可能更多）后大家还在孜孜不倦的寻找新的证明。

因为指标定理研究的是几何结构与拓扑结构之间的关系，简单的叙述背后隐藏的东西过于庞大以致于几个不同证明都说不干净，而且每一个新证明都会给人以新的启示甚至有时会影响一个学科的诞生。

在这些证明中，第一个配边证明的影响较小，它只是推广了希策布鲁赫的黎曼-洛赫定理的证明，是配边理论的集大成者和终结者，对后续影响较小。第一个重要影响是格洛腾迪克对希策布鲁赫定理的推广中构造了K群。而通过形式类比，阿蒂亚-辛格通过构造拓扑K群给出了指标定理的第二个证明。这两个系列的文章开创了K理论这个现代数学方向。

接下来的理论飞跃出现于七十年代，源于热方程证明的出现。这个证明给出了一个分析办法使得指标变成了局部可计算的量（之前只是理论上可算）。这种想法的推广使得很多拓扑不变量都可以通过对热核渐进展开的计算得到，是拓扑量几何化的里程碑，里面的矿现在还没挖干净，这一套理论影响了现代数学很多分支，后续大多数指标定理的新证明都是此想法的继续。

指标定理研究的第三个高潮就是 前面有人提到的物理应用。为了严格化威顿的想法，数学界同时出现了若干证明，其中也有中国人的贡献。其中最有创意的是 比斯姆 的概率证明，在全世界掀起了一股用概率论解决几何问题的热潮。

接下来，阿兰。孔涅 回到了问题的源头，用非交换几何理论给出了源于K理论证明的新证明。也是非交换几何这一理论的源头之一。

目前，指标定理的直接应用已经很少，但由各种各样新证明衍生出来的理论却一直在蓬勃发展，也还有新证明在不断涌现。现在指标定理已经成了几何化的一个标杆，每构建一个新的几何框架，大家都要想一想此框架下指标定理是否成立，如果成立，说明这个几何框架有拓扑内涵，就会减少被遗弃的风险。

最后回答问题：指标定理的深刻在于通过众多的证明对数学内在结构的探索，从这个方面就可以奠定他在现代数学中的地位。我称赞它，我读过它的十个证明（读懂是另外一回事）。但即使一个证明没读过的人也可以称赞它，因为他们可能是通过指标定理衍生出来的若干理论来了解它的重要性的。