下面由付里叶变换争论起物理学家和数学家的事来。其实数学无非就是一个工具，工具本身是没有什么意义的，它的意义在于有用处的时候才能体现。如果没有各种频谱分析的需要，付里叶变换再漂亮也没有什么用处。反之，即使付里叶不是物理学家，或者数学家们没有发明这个变换，物理学家们在研究频谱时也会自然地发明这个变换。
一个突出的例子是矩阵代数。海森堡在研究他的量子力学模型时开始为各个原子态列表，逐步发明了一种新的计算方法从而成功地作出他的矩阵表述。他是后来才知道那就是数学家已经发明并完全被遗忘的矩阵代数。
矩阵代数作为一个工具本身没有什么意义。只有在量子力学之后由于物理学在对称性的研究中才有了生命力。而物理学家也并不需要数学家事先发明这个工具。（当然已经发明了更好。）
其他诸如群论、黎曼几何等等，均大致如此。