曹怀东 教授与 BBS 网友在线交流实录
时间： 2004 年 7 月 17 日晚八点 至十点
地点：浙江大学海纳百川 BBS 之数学讨论区（ Mathematics 版）
http://bbs.zju.edu.cn
Q ：网友提问
Cao ：曹怀东教授的回答
Q ：去年或前年的时候，俄国数学家 Perelman 宣布证明了 Poincaré 猜测，现在一年多时间过去了，请问这个证明已经审查得怎么样了，您是 Ricci 流方面的国际权威，能否发表一下您个人的看法，这个证明完全正确的可能性有多大，还有请问 Perelman 教授的年纪，以及如果这次 Poincare 猜测完全证明，那么会有哪些人和 Perelman 一起分到 Clay 数学所的 100 万奖金呢？
Cao ：审查还在进行中，希望尽早能得到完全证实。从目前审查的过程看，正确的可能性相当大，但是不到最后审查完毕我们还无法下定论。 Perelman 教授 37 岁不到，所以下次 fields 奖年龄是符合的。当然我特别希望 Hamilton 教授和他能一起分享这 100 万奖金。正如 Perelman 自己所说，“ Hamilton 教授引入了 Ricci 流，发展了许多惊人的理论，改进了许多 Ricci 流中的重要定理，我应该算是他的学生。”
Q ：在美国的众多大学中， Lehigh 大学好像并不是很有名，您能否简单介绍一下那里的数学系的情况，每年招多少中国学生呢？
Cao ：在美国众多大学里，虽然 Lehigh 不是最有名的，但是有很强的微分几何传统，《微分几何杂志》就发源于此。我刚去一年，了解的还不是很多。每年招中国学生 1 － 2 位，我希望以后能招更多的学生，尤其是几何方面的好学生去申请。其他方面，如代数拓扑也有很优秀的教授。
Q ： Ricci 流最初是 Hamilton 为了研究 Poincare 猜测提出来的，现在 Ricci 流的研究是否已经在其他数学问题上找到了应用。如果 Perelman 的证明是对的话，以后 Ricci 流还有继续研究的必要吗？
Cao ： Ricci Flow 主要是研究流形上的几何结构，如爱因斯坦度量以及对拓扑的应用。当然三维以后还有很多其他应用， Hamilton 教授指出研究四維流形的几何化以及凯勒流形上的 Ricci 流将是主要的问题。如 Perelman 所说“ Ricci 流之所以重要，是因为它属于现代数学的主流分支。”不仅仅是在拓扑方面的应用。 Ricci 流是一类非常重要的非线性方程，任何对其奇点结构的理解都将十分重要并且对整个非线性分析也非常有意义。我想上面这段话回答了你最后的问题。
Q ：当初您是在普林斯顿拿到的博士学位，听说您是丘先生带的第一位中国学生，而且您在普林斯顿的时候也应该亲眼目睹了 Yau 获得 Fields 奖。这对您也应该是很大的鼓励吧，我想问个问题，您在国外发表的头四篇文章都是在一流杂志 Inventiones 上，您是否很注重文章的质量，宁缺毋滥呢？现在很多国内的大学，要求硕士生就要发文章，包括数学系，您觉得这样好不好呢？
Cao ：如果硕士能力很强，当然可以发表高质量的文章。但是要求所有硕士发文章，就数学系来说本人不敢苟同。能够写一篇高质量的博士论文就相当不错了，研究生期间应该有时间多学、多看，做有意义的好问题，要有好的数学鉴赏力。能跟名师当然会受益匪浅。我受丘先生和 Hamilton 的影响非常多，也是很感幸运了。
Q ：听到一种说法，说现在中国数学家（包括在国外工作的华人数学家）在微分几何学科上已经很有影响力了，特别是在陈省身和丘成桐先生的带动之下。而其他学科，比如代数几何，代数数论，好像优秀的中国的数学家就少了一点。您是否觉得现在我们应该着重发展这些学科呢？
Cao ：中国在代数几何、代数数论方面也有很优秀的数学家，如李骏、张寿武。同微分几何比，人数固然少一些。同学们要有兴趣研究代数几何、代数数论当然是好事，应该争取跟名师攻读博士。
Q ：现在的数学好像发展得很庞大，优秀的数学家也特别多，请问您觉得现在国际上特别厉害的年轻数学家有哪些，比较有可能拿到 2006 年的菲尔兹奖的呢？
Cao ： Perelman 当然是 2006 年拿 Fields 奖的最佳人选。
Q ：有些文章上说研究微分几何最好能会法语，陈省身先生在讲座中也提到过这点。不知您怎么认为。还有在法国的名校，如巴黎高等师范学校和美国的大学比较，要学习微分几何，各有何优劣。
Cao ：我本人对法文就很有兴趣，在 Princeton 读研究生的时候就上过一年法文，不过对我来说更多的是欣赏它动听的语调。当然法文对学习微分几何和其他数学分支也是非常有用的。我对法国了解不够多，张伟平教授要清楚的多。
Q ： Hamilton 教授的 Ricci 流为他赢得了很大的荣誉，这是一项非常具有原创性的工作，而且把分析学的技巧应用到拓扑学的研究中去。那么在 Hamilton 刚开始着手研究 Ricci 流的时候，他是否考虑过会在这个问题上耗费很大精力，而最后一无所获，或收获很少呢？比如我想应该也有很多花了很大精力研究费马大定理的数学家，最后可能也很少有成就的。数学上做大问题，这是否也需要很大的勇气呢？我个人特别佩服一些很有原创精神的数学家。
Cao ： Hamilton 发明 Ricci 流受英国数学家 Eells 影响很多，在 Cornell 大学任职时就做过调和映射流带边界的问题。他确实是非常具有原创性，我想他发明 Ricci 流时完全是凭着一种强烈的兴趣和极好的直觉，不会过多考虑在这个问题上会耗费很大精力而一无所获。他本人私下说：当年丘成桐先生得知他想用 Ricci 流去研究几何，以为他发疯，连丘先生这么一位能大胆设想大胆创造的人都会这么以为，可见发明 Ricci 流要有多大的勇气和执着。 Hamilton 说丘先生的评价是他以为他一生中最好的夸奖。当时也有别的教授提议他先考虑二维流形上的 Ricci 流试一试，看一看再说，再考虑三维，幸运的是他并没有接受这一友善的建议，否则他也可能需要推迟若干年才会研究三维流形上的 Ricci 流。在某种意义上来讲，黎曼面上的 Ricci 流比研究具正 Ricci 曲率的三维流形上的 Ricci 流要更加困难。原创性是极为难得的。
Q ：我是基础数学专业的研究生，我自己在看书过程中有时会遇到书中没有给出证明的一些细节问题，就是看上去很简单初等，看着差不多对，但自己好像很难给出证明。而且问导师和同学，他们也不太愿意帮我解答。请问这种时候，我是否应该先跳过这些细节呢。我不知道对从事基础数学研究的人而言，这是否是一种普遍的情况。
Cao ：这要酌情而论。有些细节问题很根本，应该尽可能搞清楚。打基础的时候还是应该扎实些。你碰到的问题应该是蛮普遍的。
Q ：我现在刚接触微分几何，您能否推荐几本比较好的适合自学的黎曼几何的教材。还有自学数学时，是否有什么需要注意的呢？有时候我觉得导师推荐的书不是太好读，怎么办呢？
Cao ：你可以给我送个 email ，我会推荐几本合适的黎曼几何教材。我的 email 地址： huc2@lehigh.edu 。
Q ：当初您普林斯顿读博士的时候，为什么会考虑去研究 Ricci 流的呢？您当时是否还有其他可以选择的研究方向呢？今天看来，您是否觉得当初是选对了方向呢？
Cao ：我到普林斯顿的第一年刚好是 Hamilton 三维流形上 Ricci 流出现，丘先生请他到普林斯顿高等研究所演讲。我研究 Ricci 流完全是受丘先生影响。在 Hamilton 演讲完不久，丘先生就让我和周培能在高等研究所仔细报告 Hamilton 文章，对我来说真是逼上梁山啊。因为当时刚到美国，大学里没有学过微分几何，第一次听丘先生讲课如同听天书。硬着头皮早起晚睡一边自学微分几何，一边读 Hamilton 的文章，幸运的是， Hamilton 也不是微分几何出身，所以他在他的文章中微分几何的背景知识写的比较多，文章几何直观很强。倒使我学到了基本的东西是如何在 Ricci 流里如何得到了应用。我一直都觉得当初的方向是选对了（就象在 80 年代初买了微软的原始股一样），深信丘先生对数学的洞察力。研究凯勒流形上的 Ricci 流是丘先生给我的一个论文题，当时我就试图解决第一陈类上面的问题。至今这都是一个未解决的问题。 .
Q ：我觉得数学家好像比一般人过的会简单一点，就是说数学家的兴趣一般不会特别的多，因为他们把时间都投到研究上去了，我想问一下，比如当你正在思考一个关键的数学问题的时候，而您的孩子或太太希望您陪他们一起逛街或看电影，那么您一般会怎么办呢？对一般的数学家来说，这样矛盾的时候是否经常有呢？
Cao ：我想你说的大概是中国数学家里面的一种现象，美国的一些有名数学家兴趣相当广泛，如 Hamilton 就喜欢骑马、冲浪，数学也是他的一个爱好。如果我在思考一个关键数学问题的时候，我会告诉家人，然后说以后会安排时间陪他们逛街、看电影、下馆子。很幸运的是，我太太非常能理解我。
Q ：作为一位国际著名的微分几何学家，您是否能谈一下，您的研究经历中，对您影响最大，让您非常难忘的某些时刻，比如您是否有因为一个难题茶饭不思的时候，历尽千辛万苦终于证明一个重要结论。您对国内的数学学子有没有什么忠告和建议。
Cao ：证明凯勒流形上 Ricci 流的 Li － Yau － Hamilton 估计是经历了将近 4 年的时间，最终确信证明是对的时候，那是一个非常难忘的时刻之一。忠告：不要追求短时效应，眼光要放远。听说有学子为了一年多几千美元的奖学金而放弃去哈佛反而选择二流的学校，实在不敢相信如此目光短浅。
Q ：您说的那个您在博士论文里就试图解决 , 现在仍然未解决的问题，大概在哪里 ( 文章或书籍 ) 可以看到它的叙述，可能很多人会感兴趣的。
Cao ：这个问题就是在第一陈类为正的情况下， Ricci 流的解当时间 t 趋于无穷时，是什么样的一个渐近行为。在我的毕业论文中，我证明了解的长时间存在性。但在 t 趋于无穷时，是否一定收敛于凯勒－爱因斯坦度量，或者是收缩到凯勒－ Ricci 孤立子（可能出现奇点），这还是一个未解决的问题。最近 Perelman 在这个问题上也有不少进展。
Q ：美国的大学是否对教授发表论文有很高的要求，比如是否每年都要有一定的篇数，还是拿到终身教职以后，就可以轻松一点了。我们既听说 publish or perish, 又看到怀尔斯这样的，为了证明费马大定理，可以发很少文章，继续当教授的。
Cao ：拿到终身教职以后，对教授发表论文的数量并没有明确要求，一流大学和二流、三流大学在这个问题上差别很大。我想怀尔斯如果是在一个普通公立大学受到的压力会大得多。确实在不同程度上，你在系里的学术地位甚至涨工资都会跟你发表的论文，尤其是高质量的论文关系很大。
Q ：您能简单介绍一下您最近的主要研究工作吗？您在浙江大学数学系可以带学生吗？
Cao ：最近的研究主要集中在： Kahler Ricci Flow 方面以及和 Hamilton 及 Ilmanen ，研究 Ricci 流与四维流形的关系。（刘克峰老师在旁边说：没问题！）也欢迎申请到 Lehigh 读研究生。
Q ：前天的时候数学中心有一个座谈会，是很多著名数学家在一起和大家聊数学，其中就谈到他们是如何走上数学研究道路的，比如 Gelbart 的父亲是数学家，所以影响了他；而林芳华，管鹏飞教授考大学的那时候是文革刚结束，他们读大学的出发点主要是为了不当农民。后来才慢慢对数学感兴趣的。那么您是为何选择数学作为职业的呢？
Cao ：我大概是从小受父母的影响，尽管他们从来不过问我念书，但我父亲是数学教员，家里有不少数学书可以翻阅，不知不觉就走进去了。 77 年高考的时候，想都没想就报了数学专业。
Q ：数学对您的人生观各方面有多大的影响。比如是否让你分析生活中的问题更加的理性？
Cao ：我想应该如此。
Q ：作为数学家，您一定拥有很多数学界的朋友，那么您是否也有很多其他从事非数学研究，甚至不是从事科学研究的朋友呢。是否和他们的谈话也会对您的数学研究产生好处呢？
Cao ：朋友中大都是从事科学研究或在公司工作的，同一些工程、物理专业的朋友谈话也常常会谈到跟数学有关的内容或者是他们的研究跟数学的关系。